推荐西南石油大学数学物理方程习题解答案课后习题答Word下载.docx
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因为是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以从而，
故都是原方程的解，为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有
为通解。
4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。
弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为轴。
在杆上任意截取位于的一段微元，杆的截面积为，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应变）分别是与，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为与，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：
且合力的正向与坐标轴相同，设为微元质心的坐标，则质心处的加速度为，
由牛顿第二定律有：
约去，并对右端应用中值定理，得
约去，并令，即得：
由于弹性杆是均匀的，（常数），（常数）
从而，其中（是杨氏模量，是体密度）。
5，一均匀细杆直径为，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从规律
记杆的体密度为，比热为,热传导系数为.试导出此时温度满足的微分方程。
取杆轴为，考察杆位于段在时间区间上的热平衡，在时间内，段的侧面流入的热量为：
在点，处截面流入该段的热量为：
温度升高所吸收的热量：
由能量守恒定律得：
由的任意性，有
。
6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻溶液中点处的浓度用函数表示，试导出所满足的微分方程。
由Nernst定律得
上式中表示扩散物质浓度，为在时间内经过面扩散物质的量，为扩散系数。
在时段内通过边界曲面S流入区域的质量为
从时刻到，中该物质质量的增加为：
从而，由质量守恒定律有
交换积分次序可得：
由于，在区域都是任意的，可以得到
7,一根均匀杆原长，一段固定，另一端拉长而静止，然后突然放手任其振动，试写出其定解问题。
设点在处固定，在处拉长而静止，然后突然放手任其振动，则方程为。
边界条件为：
；
初始条件为：
8，长为的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为，杆的初始温度分布是，试写出其定解问题。
侧面绝热，方程为
边界条件为
初始条件为
9，长度为的均匀细杆，初始温度为0℃，端点处保持常温，而在处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。
试列出杆上的温度分布函数所满足的定解问题。
类似第5题，可得方程。
其中
，
边界条件为:
10，设函数和分别是定解问题
和
的解，试证明函数是定解问题
利用叠加原理Ⅰ得，其中。
因为是定解问题一得解，是定解问题二的解。
所以必满足。
又因为对定解问题一有，
对定解问题二有
所以；
同理可得与的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。
11，设函数和分别是定解问题
（Ⅰ）和（Ⅱ）
（Ⅲ）
利用叠加原理得，其中（Ⅰ）式=0，（Ⅱ）式的为。
所以它们的线性组合必满足方程，即是方程的解。
又因为对定解问题（Ⅰ）有，；
对定解问题（Ⅱ）有，。
所以，同理可得与的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。
习题二
1，用分离变量法解齐次弦振动方程
，，
的下述混合问题：
（3）
（1）第一，求与所满足的常微分方程
设满足方程和齐次边界条件的特解形式为，代入方程得
即
所以得到与所满足的两个常微分方程：
第二，解特征值问题
为了要特解形式满足边界条件，必须有
因为不能恒为零，所以
这样就得到决定的如下常微分方程边值问题：
通解为
满足边界条件：
即
（关于，的齐次线性方程组）
因为系数行列式
所以,即，无非零解。
②，通解，带入边界条件得
即，无非零解。
③,通解，代入边界条件得
所以特征函数为
再将代入方程得
特征方程：
通解：
综上：
第三：
迭加
第四：
确定系数，使上式满足初始条件。
由正交性：
在上积分
从而
同理
（2）特征值为
特征函数
确定系数，。
2/l改为2/ka*pi
2,用分离变量法求解下述热传导方程的混合问题：
（1）①分离变量，令形式特解满足方程和齐次边界条件
代入边界条件得：
从而得决定的如下常微分方程边值问题
②求解特征值问题
因为当时，该问题只有零解，无非零解
只有当时，方程有非零解：
所以特征值为
特征函数为
再将特征值代入得
所以，
③迭加，则
④确定系数，使上式满足初始条件，则
（2）特征值为，；
所以l改为l/2，级数钱负号-
3,求解下述定解问题：
其中满足
满足
用分离变量法解得
（1）得
4，求解定解问题
令特解满足齐次方程和齐次边界条件，则
，代入边界条件得从而得到决定的如下常微分方程边值问题
①，，通解带入边界条件有
因为系数行列式所以即，无非零解。
②，通解带入边界条件有
③，，通解
所以带入边界条件有
再代入初始条件得：
由正交性知
所以，得到的常微分方程初值问题解得
代入初始条件得
\\\\
\
因此
5，求解定解问题
因为，是所对应的其次方程在其次边界条件下的特征函数系。
所以设定解问题有如下形式的解：
将上式代入方程和初始条件得：
于是，得到的常微分方程的初值问题
解之得：
（1）当时，通解，代入初值条件得
（2）当，通解，则
代入初值条件得：
所以，；
，
6，求解定解问题
因为是所对应的齐次方程在齐次边界条件的特征函数系，所以定解问题有如下形式的解：
代入方程有：
代入初始条件有：
用比较系数法得
7，求解定解问题
因为是所对应的齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系，所以定解问题有如下形式的解：
即：
由正交性将上式两端同时乘以后，并对在区间上积分，得
8，求解定解问题hybgv
因为，是所对应的齐次方程在齐次边界条件下的特征函数系。
所以，由特征函数法定解问题有如下形式的解：
代入原方程有V
由比较系数法有
由初始条件有
（1），有关于的常微分方程初值问题为解之得
（2），关于的常微分方程初值问题为
利用齐次话原理将非齐次方程转化为齐次的：
令，则
解之得通解：
=
因此。
9，求解定解问题
由特征函数法可将表为：
代入原方程有
（1）
代入边界条件有：
，其中
解
（1）得：
代入得
10,试解放射性衰变问题
其中皆为常数。
（1）
为确定，先将展为特征函数系的级数：
（2）
（3）
将
（1），
（2），（3）代入定解问题，即有
利用齐次化原理
（Ⅰ）
解得
（Ⅱ）
齐次化得，
令
所以（Ⅱ）的解为。
利用叠加原理得：
11，求解定解问题
（2）
于是
12,求解单位圆内泊松方程的狄利克莱问题
显然
为方程之特解，
也为方程的特解。
令，则有
，即
由边界条件，有
比较系数法，即有
于是
从而原问题的解
13，求解圆内的拉普拉斯方程的牛曼问题
其中边值函数满足条件
由分离变量法易得
于是，有
为任意。
14，在扇形区域内求下列定解问题
由分离变量法求解，令，则有特征值问题
特征值
且
由自然边界条件，有
15,求下列泊松方程的特解
（1）为常数
（是关于的线性函数，是关于的线性函数）易知，特解为
（2）特解为
16，求解泊松方程的狄利克莱问题
由自由项知有形式的特解，再让其满足第二对边界条件，即有
17，解定解问题
（其中不为整数）
则
（注意）
18，解定解问题
19，试确定下述定解问题的解
其中，皆为常数。
20,求解圆环域内的拉普拉斯方程的牛曼问题
添加周期性边界条件
分离变量法求解得
得
由边界条件，利用比较系数法，得
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