人教A版高考数学理一轮汇总训练1数列的概念与简单表示法Word文件下载.docx

人教A版高考数学理一轮汇总训练1数列的概念与简单表示法Word文件下载.docx

《人教A版高考数学理一轮汇总训练1数列的概念与简单表示法Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高考数学理一轮汇总训练1数列的概念与简单表示法Word文件下载.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

项与项间的大小关系

递增数列

an＋1＞an

其中n∈N*

递减数列

an＋1＜an

常数列

an＋1＝an

摆动数列

从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.

3．数列的表示法

数列的表示方法有列表法、图象法、公式法．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

[探究]　1.数列的通项公式唯一吗？

是否每个数列都有通项公式？

提示：

不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝（－1）n或an＝有的数列没有通项公式．

5．数列的递推公式

若一个数列{an}的首项a1确定，其余各项用an与an－1的关系式表示（如an＝2an－1＋1，n＞1），则这个关系式就称为数列的递推公式．

[探究]　2.通项公式和递推公式有何异同点？

不同点

相同点

通项公式法

可根据某项的序号，直接用代入法求出该项

都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项

递推公式法

可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的项

[自测·

牛刀小试]

1．（教材习题改编）已知数列{an}的前4项分别为2,0,2，0，…，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是（　　）

A．an＝1＋（－1）n＋1　　　　　　B．an＝2sin

C．an＝1－cosnπD．a＝

解析：

选B　若an＝2sin，则a1＝2sin＝2，a2＝2sinπ＝0，a3＝2sin＝－2，a4＝2sin2π＝0.

2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3（　　）

A．不是数列{an}中的项

B．只是数列{an}中的第2项

C．只是数列{an}中的第6项

D．是数列{an}中的第2项或第6项

选D　令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．

3．（教材习题改编）在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（n≥2），则a5＝（　　）

A.　　　　B.　　　　

C.　　　　D.

选D　由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝，a5＝.

4．（教材改编题）已知数列，，2，…，根据数列的规律，2应该是该数列的第________项．

由于2＝3×

1－1,5＝3×

2－1,8＝3×

3－1，…

故可知该数列的通项公式为an＝

由2＝，得n＝7.

答案：

7

5．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n（n＝1,2,3，…），则此数列的通项公式为an＝________；

数列{nan}中数值最小的项是第________项．

∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝（n2－10n）－[（n－1）2－10（n－1）]＝2n－11；

当n＝1时，a1＝S1＝－9也满足an＝2n－11，

∴an＝2n－11.

∴nan＝2n2－11n＝2＝2

＝22－.

又∵n∈N*，∴当n＝3时，nan取最小值．

2n－11　3

已知数列的前几项求通项公式

[例1]　根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

（1）4,6,8,10，…；

（2），，，，，…；

（3），，－，，－，，….

[自主解答]　

（1）各数都是偶数，且最小为4，所以通项an＝2（n＋1）（n∈N*）．

（2）注意到分母分别是21,22,23,24,25，…，而分子比分母少1，

所以其通项an＝（n∈N*）．

（3）分母规律明显，而第2,3,4项的绝对值的分子比分母少3，因此可考虑把第1项变为－，这样原数列可化为－，，－，，－，，…

所以其通项an＝（－1）n（n∈N*）．

———————————————————

用观察法求数列的通项公式的技巧

用观察归纳法求数列的通项公式，关键是找出各项的共同规律及项与项数n的关系．当项与项之间的关系不明显时，可采用适当变形或分解，以凸显规律，便于归纳．当各项是分数时，可分别考虑分子、分母的变化规律及联系，正负相间出现时，可用（－1）n或（－1）n＋1调节．

1．写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：

（1），，，，，…；

（2）－1，，－，，－，…；

（3）9,99,999,9999，….

解：

（1）分子是连续的偶数，且第1个数是2，所以用2n表示；

分母是22－1,42－1,62－1,82－1,102－1，所以用（2n）2－1表示．所以an＝＝（n∈N*）．

（2）正负交替出现，且奇数项为负，偶数项为正，所以用（－1）n表示；

　1，　　，　　，　　　，　　　，…

　↕　　↕　　　↕　　　↕　　　↕

，，　，　　，　　，…

分母是连续奇数相乘的形式，观察和项数n的关系，用（2n－1）（2n＋1）表示；

分子是21＋1,22＋1,23＋1,24＋1，用2n＋1表示．所以

an＝（－1）n·

＝（－1）n·

（n∈N*）．

（3）　　9，　　　99，　　　999，　　　9999，…

　　　↕　　　↕　　　↕　　　　↕

101－1，　102－1，　103－1，　　104－1，…

所以an＝10n－1（n∈N*）.

由an与Sn的关系求通项公式

[例2]　已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，求它的通项公式an.

[自主解答]　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2×

3n－1；

当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2×

3n－1.

故数列{an}的通项公式为an＝2×

若将“Sn＝3n－1”改为“Sn＝n2－n＋1”，如何求解？

∵a1＝S1＝12－1＋1＝1，

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝（n2－n＋1）－[（n－1）2－（n－1）＋1]

＝2n－2.

∴an＝　　　　

已知Sn求an时应注意的问题

数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；

当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示．

2．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>

1，且6Sn＝（an＋1）（an＋2），n∈N*.求数列{an}的通项公式．

由a1＝S1＝（a1＋1）（a1＋2），

解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S1>

1，因此a1＝2.

又由an＋1＝Sn＋1－Sn

＝（an＋1＋1）（an＋1＋2）－（an＋1）（an＋2），

得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.

因为an>

0，故an＋1＝－an不成立，舍去．

因此an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝3，

从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.

由递推关系式求数列的通项公式

[例3]　根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．

（1）a1＝1，an＋1＝3an＋2；

（2）a1＝1，an＝an－1（n≥2）；

（3）a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.

[自主解答]　

（1）∵an＋1＝3an＋2，

∴an＋1＋1＝3（an＋1），即＝3.

∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.

又a1＋1＝2，∴an＋1＝2×

∴an＝2×

3n－1－1.

（2）∵an＝an－1（n≥2），

∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.

以上（n－1）个式子相乘得

an＝a1×

×

…×

＝＝.

（3）∵an＋1－an＝3n＋2，

∴an－an－1＝3n－1（n≥2），

∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（n≥2）．

当n＝1时，a1＝×

（3×

1＋1）＝2符合公式，

∴an＝n2＋.

由递推公式求通项公式的常用方法

已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．

当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；

当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；

当出现an＝an－1＋fn时，用累加法求解；

当出现时，用累乘法求解.

3．（2012·

大纲全国卷）已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

（1）求a2，a3；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）由S2＝a2得3（a1＋a2）＝4a2，解得a2＝3a1＝3；

由S3＝a3得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，解得a3＝（a1＋a2）＝6.

（2）由题设知a1＝1.

当n>

1时有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.

于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，

…

an－1＝an－2，an＝an－1，

将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.

综上可知，数列{an}的通项公式an＝.

数列函数性质的应用

[例4]　已知数列{an}．

（1）若an＝n2－5n＋4，

①数列中有多少项是负数？

②n为何值时，an有最小值？

并求出最小值．

（2）若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1>

an成立．求实数k的取值范围．

[自主解答]　

（1）①由n2－5n＋4<

0，解得1<

n<

4.

∵n∈N*，∴n＝2,3.

∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.

②∵an＝n2－5n＋4＝2－的对称轴方程为n＝.

又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

（2）由an＋1>

an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<

，即得k>

－3.

函数思想在数列中的应用

（1）数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．

（2）数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：

①作差；

②作商；

③结合函数图象等方法．

4．若数列中的最大项是第k项，则k＝________.

法一：

由题意知，

解得≤k≤1＋.

∵k∈N*，∴k＝4.

法二：

设an＝n（n＋4）n，则

an＋1－an＝（n＋1）（n＋5）n＋1－n（n＋4）n

＝n

＝n.

当n≤3时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an，

当n≥4时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，

故a1＜a2＜a3＜a4，且a4＞a5＞a6＞….

所以数列中最大项是第4项．