小升初小学数学几何初步知识知识点汇总九.docx
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小升初小学数学几何初步知识知识点汇总九
小升初小学数学(几何初步知识)知识点汇总
279.什么叫做几何学和几何图形?
几何学是数学的一门分科,它是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学,也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。
在我们的周围世界里,各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置关系。
例如:
课桌的桌面是长方形的,魔方的每个面是正方形的,各种车轮的形状是圆的。
魔方有大小之分,魔方的面的大小也是不一样的;汽车有大小,自行车也有大小,同样是车轮,大小也不相同。
还应该看到,物体与物体之间,有着相互位置关系。
例如:
上下关系、前后关系和左右关系等。
公元前338年,希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识,并加以系统整理,按照图形在平面或空间的形式,在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。
由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学,根据研究结果加以抽象概括,便产生了几何图形。
几何图形是由点、线、面结合而成的,也是点、线、面的集合。
一个图形所有的点,都在同一平面内,这样的图形叫做“平面几何图形”,如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形,都是平面几何图形。
如果一个图形的点不全在同一平面内,这个图形就叫做“立体几何图形”,如长方体、圆柱体和圆锥体等图形,都属于立体几何图形。
280.什么叫做点、线、面、体?
点:
在平面上只有位置,没有大小(即没有长、宽、高),不可分割的。
线和线相交于一个点。
也可以理解为“点”是“线”的界限。
在几何中,用大写字母表示点。
如,图中的A点、B点、C点。
线:
如果两个面相交,就会交出一条线来。
也就是面和面相交于线。
一张纸对折起来的痕迹就是“线”。
也可以理解为“线”是“面”的界限。
线有直线和曲线等。
如:
长方体相邻的两个面相交于一条线(也就是长方体的一条棱),就是直线。
圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线,就是曲线。
线只是面与面相交的界限,它没有大小(即粗细),只有长短,或者说,线只有长,而没有宽和高。
面:
任何物体都占一定的空间,都是用它的表面和周围分割开来。
因此,可以说“体”是由“面”围成的。
如:
课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、水桶的侧面和底面等都是“面”。
也可以理解为“面”是“体”的界限。
由于面是物体的表面,如果放弃物体的本身,只单独想象物体的表面,这样的面就是几何的面。
几何里的面是没有厚度的(即:
高),所以,面只有长和宽,而没有高。
体:
当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质(如颜色、重量、硬度等)的时候,我们就把这个物体叫做几何体,简称“体”。
例如:
一块砖与一个和砖完全一样的纸盒,虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同,只要它们的形状、大小都相同,就可以认为它们是完全相等的两个几何体。
就上述的砖和纸盒来说,它们是两个相同的长方体。
281.直线、射线和线段有什么不同?
直线、射线和线段是易于混淆的三个概念,它们之间也是有联系的,直线是基础,射线和线段是直线概念的发展。
它们也是有区别的,这是它们之间的主要方面。
首先看直线,一点在空间沿着一定方向和相反方向运动,所成的图形就是直线。
一张纸的折痕、双手拉紧的线,都给人以直线的形象。
我们把直线看作可以向两方无限延伸的,直线是无头无尾的,即是没有端点的。
直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。
例如,直线
AB,或直线BA;也可以用一个小写字母表示一条直线。
例如,直线l(如下图)。
经过一点,可以画无数多条直线,但是,经过两点却只能画出一条直线,这就是直线的基本性质。
除此之外,两条直线相交,只有一个交点。
其次看射线,在直线上某一点一旁的部分叫做射线。
这一点叫做射线的端点。
射线的另一端是可以无限延伸的,因此,没有端点。
射线只有一个端点;是一条半直线。
类似探照灯光和手电筒所射出的光线,都可以看作射线的实际例子。
射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示,并且把表示端点的字母写在前面。
例如,以点O为端点的射线,可以在射线上再取一点A,记作:
射线OA(如图)。
最后再看线段,直线上任意两点间的部分叫做线段。
具有一定长度的拉直了的细绳,可看作线段的实际例子。
线段是有长短的,因此可以进行度量。
线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。
例如,线段AB,或者线段BA。
也可以用一个小写字母表示。
例如,线段a(如下图)。
在连结两点的所有线中,线段最短。
这就是线段的基本性质。
282.什么叫做“角”?
几何中所指的“角”的定义是:
从一点画出的两条射线所组成的图形,叫做“角”。
这里所说的点(即两条射线的端点),叫做角的“顶点”,构成角的两条射线,叫做角的“边”。
角的大小与两边的长短无关,只与角两边的相互位置关系有关。
这一点,在初学时很容易混淆,必须引起注意。
角用符号“∠”来表示。
如:
从图2中可以看到:
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
一个角一般有以下三种表示方法:
(1)用“∠”与三个大写字母表示角。
如:
图3中的角记作:
∠AOB;
图4中的角记作:
∠BOC,∠AOB,∠AOC。
(2)用“∠”与一个大写字母表示角。
这里所指的一个大写字母,应该是角顶上的字母。
而且这种用一个大写字母表示角的方法,只适用于单个的角。
如图3,用∠O来表示,如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时,则不能用这种方法来表示角。
如图4,如果用∠O来表示,就表述不清到底∠O表示哪个角。
(3)用“∠”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。
例如:
下图中的角分别记作:
∠1、∠2、∠α、∠β。
283.几何中的角可分为哪几种?
(1)周角:
一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到这条射线回到它的原来的位置时,就形成了一个周角。
如图
图中的OA绕它的端点O.按逆时针方向旋转,转到这条射线又回来的位置,形成了一个周角。
一个周角等于360°,一个周角是一个平角的
2倍。
(2)平角:
一条射线绕着它的端点,按逆时针方向旋转,转到和原来位置成为一条直线,这时所成的角,叫做平角。
如图
图中的射线OA绕它的端点O,按逆时针方向旋转,转到射线OB的位置上(射线OA与射线OB构成一条直线),形成一个平角。
一个平角等于180度,记作180°。
(3)优角:
一个大于平角又小于周角的角,叫做优角。
优角在小学数学教材中没有出现,但在教学中常常遇到学生提出这样的问题:
比周角小又比平角大的角叫什么角?
181°的角是什么角等等。
如图
优角大于180°,小于360°。
(4)直角:
等于平角一半的角,叫做直角。
如图
直角通常记作“RT∠”。
直角的大小通常用d来表示,这样,平角等于2d,周角等于4d。
(5)钝角:
一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。
如图
钝角的度数大于90°,小于180°。
(6)锐角:
小于直角的角叫做锐角。
如图
锐角小于90°。
(7)余角:
当两个锐角∠AOB与∠BOC之和等于一个直角∠AOC时,其中一个角∠BOC叫做另一个角∠AOB的余角。
这两个角叫做互为余角。
如图
(8)邻角:
当两个角有一个公共的顶点,有一条公共的边,这两个角另外两条边在公共边的两侧,这两个角叫做互为邻角。
如图
图中的OC是∠AOC与∠COB的公共边,∠AOC是∠COB的邻角;∠BOC也是∠COA的邻角。
(9)补角:
两个角的和等于平角,这两个角叫做互为补角。
也就是说,其中任一个角是另一个角的补角。
如图
图中的∠1是∠2的补角,∠2是∠1的补角,或者说,∠1与∠2互为补角。
(10)对顶角:
把一个角的两边分别向相反方向延长,这两条延长线所夹的角,叫做原角的对顶角。
如图
图中的∠AOD与∠BOC、∠AOB与∠DOC;
两对顶角是相等的。
图中的∠AOD=∠BOC;∠AOB=∠DOC;。
(11)三线八角:
两条直线被第三条直线所截,所得的八个角,叫做三线八角。
图中的l1、l2、l3和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八角。
按上述
八个角的相互位置,给以下列不同名称:
①同位角:
当形成三线八角时,如果有两个角分别在两条直线的同一方,并且在第三条直线的同一旁,这样的一对角,叫做同位角。
如图中的∠1与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8、∠3与∠7都是同位角。
②内错角:
如果两个角都在两直线的内侧,并且在第三条直线的两侧,那么这样的一对角叫做内错角。
图中的∠6与∠6、∠4与∠5都是内错角。
③外错角:
如果两个角都在两直线的外侧,并且在第三条直线的两侧,那么这样的一对角叫做外错角。
图中的∠1与∠8、∠2与∠7都是外错角。
④同旁内角:
如果有两个角都在两条直线的内侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁内角。
图中的∠3与∠5、∠4与∠6都是同旁内角。
⑤同旁外角:
如果有两个角都在两条直线的外侧,并且在第三条直线的同旁,那么这样的一对角,叫做同旁外角。
图中的∠1与∠7、∠2与∠8都是同旁外角。
284.垂直和垂线有什么不同?
垂直和垂线是两个不同的概念。
垂直的含义是:
两条直线相交成直角,这两条直线叫做互相垂直。
图中的直线AB与直线CD相交于O,并且它们所成的角等于90°,因此,直线AB与CD互相垂直。
在两条相互垂直的直线中,其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
它们的交点叫做垂足。
垂直通常用符号“⊥”来表示。
如图中的AB垂直于CD,可记作AB
⊥CD,读作AB垂直于CD。
有时为了把垂足也表示出来,也可以写作AB
⊥CD于O,读作:
AB垂直于CD于O点。
垂线还具有以下两个性质:
(1)经过一点且只有一条直线垂直于已知直线;
(2)从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中,和这条直线垂直的线段最短。
画垂线时的要点是什么?
通常画垂线所借助的工具有两种:
一种是借助“三角板”画垂线;另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。
用三角板画一条直线的垂线,一般所给的条件有两种:
(1)过直线外一点画这条直线的垂线。
(2)过直线上的一点画这条直线的垂线。
如图:
例如:
已知点P是直线AB外的一点,用三角板过P点作PO垂直于
AB。
如图①,把三角板一条直角边靠在直线AB上(即把三角板的一条直角边与直线AB重合),并沿AB移动,使另一条直角边靠上P点,固定住三角板,并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO,直线PO与直线AB交于O点,这样,PO就是直线AB的垂线。
用一个三角板作垂线时,往往在接近垂足O点处的一段不容易作得很好。
可以采用另一种方法,如图②所示:
用两个三角板,把一个三角板(如虚线中的三角板)先固定住,然后把另一个三角板与它靠紧,再拿去第一个三角板,固定住第二个三角板,用铅笔沿着第二个三角板的一条边(靠上P点的一条边)画一条直线PO。
这种方法的关键是第二个三角板靠P点的一条边与直线AB相交,因此,在垂足O处,可以画得准确些。
又如:
已知点P是直线AB上的一点,用三角板过P点作PC垂直于直线AB。
如图:
如图①,把三角板的一条直角边靠在直线AB上,沿着AB移动,使另一条直角边靠上P点(即直角顶点靠上P点)时,把三角板固定,并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点,则PC是AB的垂线。
与上例相同,也可以按图②所示,用两个三角板,当第一个三角板的一条直