现代工程数学 完整版全套优质课件Word文档格式.docx
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丙能教英语、德语、法语,
丁只能教德语,
是否能够排出课表?
甲、乙、丙、丁分别教英语、日语、法语、德语。
棋盘完美覆盖问题
一个多米诺骨牌可覆盖同一行或同一列两相邻方格。
若用若干多米诺骨牌覆盖棋盘所有方格,并且多米
诺骨牌不重叠,则称该覆盖为完美覆盖。
mn棋盘有完美覆盖iffm和n中至少有一个是
偶数。
当m是偶数时,每块多米诺骨牌竖放。
当m是奇数且n是偶数时,每块多米诺骨牌横放。
当m和n都是奇数时,棋盘的方格数mn是奇数。
幻方
2在由1,2,…,n组成的nn方阵中,若每行之
和、每列之和、每条对角线之和都相等,则称
该方阵为n阶幻方。
对于n2,存在n阶幻方。
例如,左下方方阵是3阶幻方。
若右下方方阵
是2阶幻方,则u+vu+y,所以vy,矛盾。
无2阶幻方。
816?
uv357xy492?
计数问题
3
将三角形顶点染红、蓝两色,共有28种方法,
若一种染色旋转后可变为另一种,则认为这两种染
色相同,那么仅有4种方法（分别有0,1,2,3个顶
点染红色）。
有多少种方法将正整数n表示成正整数之和,即n
有多少个分拆。
如4有5个分拆:
4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1构造问题
构造n阶幻方的方法,其中n是奇数。
将1放在第一行中间。
自左下至右上沿对角线顺次放随后各数,将最后
一行认为是第一行上面的行,第一列认为是最后
一列右面的列。
若要放数的位置已有数,则将数放在原数下方。
816357492?
优化问题
A,?
A地分别生产某种商品a,?
a吨,B,?
B地
1m1m1n
mn
分别销售该种商品b,?
b吨,ab（供需平衡）。
1nij
i?
1j?
1
从A到B的运价为每吨c元。
如何安排运输最经济?
ijij
设从A到B的运量为x吨。
求mincx?
ijijijij
nm
约束条件xa,xb?
ijiijj
j?
1i?
1第2章鸽巢原理
本章主要讨论简单形式和加强形式的鸽巢原理
及其应用。
本章还简单讨论鸽巢原理的推广:
Ramsey定理。
2.1鸽巢原理:
简单形式
2.2鸽巢原理:
加强形式
2.3Ramsey定理
作业2.1鸽巢原理:
定理2.1.1若将多于n个物体放入n个盒子,则至
少有一个盒子中的物体数大于1。
存在从A到B的单射（一对一的函数）当且仅当|A||B|。
存在从A到B的满射（映上的函数）当且仅当|A||B|。
存在从A到B的双射（一一对应）当且仅当|A||B|。
鸽巢原理应用
从1,2,…,200中任意选出101个数,必有两个数
其中一个能够整除另一个。
k
证明将数表示成形式2a,其中a是奇数。
小于
200的奇数只有100个,即1,3,…,199,所以这
kj
101个数中必有两数表示为2a和2a,
kj2a|2a当且仅当kj鸽巢原理应用
设n是正整数,必存在由数字0和7组成的正
整数能被n整除。
证明7,77,?
77?
7是n?
1个不同正整数,它们被n除
n?
1个
余数只有n种可能,所以必有两数被n除余数相同。
设
ij,77?
7和77?
7被n除余数相同。
则它们的差为
i个j个
77?
700?
0,这是能被n整除的数。
i个i个中国剩余定理
设m和n是互素的正整数,即它们的最大公约数
是1,0am,0bn,必存在正整数x使得,
m除x余a,n除x余b。
证明考虑n个数a,m+a,…,n1m+a
若其中两数im+a和jm+a被n除余数相同,则
n|ijm,n|i?
j,0|i?
j|n,矛盾。
a,m+a,…,n1m+a
被n除余数各不相同,其中有mk+a被n除余b,
取xmk+a。
定理2.2.1设q,…,q是正整数。
将
1n
q+…+qn+1
个物体放入n个盒子,或者第1个盒子中至少
有q个物体,…,或者第n个盒子中至少有q
个物体。
证明否则物体总数至多
q?
1+…+q1q+…+qn
1n1n
取q…q2,就退化为简单形式的鸽巢原
理。
2
证明由n?
1个实数组成的序列a,?
a,或者有长度
为n?
1的递增子序列,或者有长度为n?
1的递减子序列。
证明设m为从a开始的最长递增子序列长度。
若无长
ii
度为n?
1的递增子序列,则每个mn,m,?
m中必
i1
有n?
1个相同的。
设mm,其中kk。
kk1n?
1n?
我们证明a,?
a是递减子序列。
若aa,则将
kkkk
1ii?
a放在从a开始的最长递增子序列前面就得到更长的
kk
ii?
递增子序列,这与mm矛盾。
12.3Ramsey定理
用K表示n阶完全无向图,用红、蓝两种颜色为
n
K的边染色,若每条边都染成红（蓝）色,则称
它为红（蓝）K。
nKKKK
2345设正整数p,m,n2,引进记号K?
K,K:
pmn
若用红、蓝两种颜色为K的边任意染色,则总存
p
在红K或蓝K。
Ramsey定理若正整数m,n2,则存在正整数p
使得K?
K,K。
并称使K?
K,K成立的最小
pmnpmn
正整数p为Ramsey数rm,n。
K?
K,K不成立。
533
由此可知,r3,35。
r3,36
设K的六个顶点分别为v,…,v。
v与
6161
v,…,v的连边中必有三个是同色的,不妨设
26
v与v,v,v的连边都是红色,若三角形vvv
1234234
中某边是红色的,则有红三角形。
若三角形
vvv中边都是蓝色的,则有蓝三角形。
234
因此,K?
633r3,36,因此,r3,36。
显然,rm,nrn,m。
rm,2m。
若K中都是红边,则有红K;
若K中有蓝边,
mmm
则有蓝K。
所以KK,K。
2mm2
若K中都是红边,则既没有红K,也没有蓝
m?
1m
K。
所以KK,K不成立。
2m?
1m240r3,10r10,343,即
KK,K成立且KK,K不成立。
4331039310
对于i40,41,42,不知KK,K是否成立。
i310rk,l表可以将Ramsey定理推广到任意多种颜色的情况。
引进记号KKn,…,Kn
1k
表示:
用k种颜色c,…,c为K的边任意染色,或
1kp
者有一个被染成c色的Kn,…,或者有一个被染
1
成c色的Kn。
k
Ramsey定理若n,…,n2,则存在正整数p使得
1kKKn,…,Kn
使得KKn,…,Kn成立的最小正整数p称为
1kRamsey数rn,…,n。
1k
r3,3,317无向图中的边是顶点集的2元子集,可以将Ramsey定理
t
推广到为t元子集染色。
用K表示一个n元集的所有t元
n
子集的集合。
Ramsey定理设t是正整数,q,?
qt,则存在正整数
p使得
ttt
KK,?
K
pqq
即当用k种颜色c,?
c为一个p元集A的所有t元子集任
意染色时,或者总有一个A的q元子集的所有t元子集都
染成c色,,或者总有一个A的q元子集的所有t元子
集都染成c色。
使得KK,?
K成立的最小正整数p称为Ramsey数
rq,?
q。
t1kRamsey定理是加强形式鸽巢原理的推广。
令t1,将“为1元子集u染色c”看作“将u
i
放入第i个盒子中”,可以得出
rq,…,qq+…+qk+1
11k1k作业
5,10,15,16第3章排列与组合
3.1两个基本的计数原理
3.2集合的排列
3.3集合的组合
3.4多重集的排列
3.5多重集的组合
作业3.1两个基本的计数原理
加法原理
设SSS…S是m个两两不相交集合
12m
之并,则|S||S|+|S|+…+|S|。
12m
乘法原理
|AB||A||B|
其中ABa,b:
a?
A,b?
B
相等原理
如果在集合A和B之间存在一一对应,
则|A||B|。
例确定10!
的正整数因子数
842
10!
23…102357
ijkl
m|10!
iffm2357,
其中0i8,0j4,0k2,0l1
的正整数因子数9532270恰有一位数字是5的100
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