高三理科数学复习教案圆锥曲线与方程总复习教案Word文档格式.docx
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1.椭圆、双曲
线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;
2.直线与圆锥曲线的位
置关系问题;
3.求曲线的方程或曲线的轨迹;
4.数形结合的思想，方程的思想，
函数的思想，坐标法.
本章难点：
1.对圆锥曲线的定义及性质的理解和应用;
2.直线与圆锥曲线的
位置关系问题;
3.曲线与方程的对应关系. 圆锥曲线与函数、方程、不等
式、三角形、平面向量等知识结合是高考常考题型.极有可能以一小一大的形
式出现，小题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技
能和基本方法运用;
解答题常作为数学高考的把关题或压轴题，综合考查学生
在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等方面的能力.
知识网络
9.1 椭 圆
典例精析
题型一 求椭圆的标准方程
【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分
别为453和
253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.
【解析】由椭圆的定义知，2a=453+253=25，故a=5，
由勾股定理得，（453）2-（253）2=4c2，所以c2=53，b2=a2-c2=103，
故所求方程为x25+3y210=1或3x210+y25=1.
【点拨】
（1）在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐
标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：
mx2+ny2=1（m>
0，n>
0且m&
ne;
n）;
（2）在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.
【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的
顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点（每条曲线上
至少取两个点），并记录其坐标（x，y）.由于记录失误，使得其中恰有一个点既
不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：
据此，可推断椭圆C1的方程为 .
【解析】方法一：
先将题目中的点描出来，如图，A（-2,2），B（-2，0），
C（0，6），D（2，-22），E（22，2），F（3，-23）.
通过观察可知道点F，O，D可能是抛物线上的点.而A，C，E是椭圆上的
点，这时正好点B既不在椭圆上，也不在抛物线上.
显然半焦距b=6，则不妨设椭圆的方程是x2m+y26=1，则将点
A（-2,2）代入可得m=12，故该椭圆的方程是x212+y26=1.
方法二：
欲求椭圆的解析式，我们应先求出抛物线的解析式，因为抛物线
的解析式形式比椭圆简单一些.
不妨设有两点y21=2px1，①y22=2px2，②y21y22=x1x2，
则可知B（-2，0），C（0，6）不是抛物线上的点.
而D（2，-22），F（3，-23）正好符合.
又因为椭圆的交点在x轴上，故B（-2，0），C（0，6）不可能同时出现.故选
用A（-2,2），E（22，2）这两个点代入，可得椭圆的方程是x212+y26=1.
题型二 椭圆的几何性质的运用
【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，
&
ang;
F1PF2=60度.
（1）求椭圆离心率的范围;
（2）求证：
△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】
（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>
b>
0），|PF1|=m，|PF2|=n，在
△F1PF2中，
由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos60度，
因为m+n=2a，所以m2+n2=（m+n）2-2mn=4a2-2mn，
所以4c2=4a2-3mn，即3mn=4a2-4c2.
又mn小于等于（m+n2）2=a2（当且仅当m=n时取等号），
所以4a2-4c2小于等于3a2，所以c2a2&
ge;
14，
即e&
12，所以e的取值范围是[12，1）.
（2）由
（1）知mn=43b2，所以=12mnsin60度=33b2，
即△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意
正、余弦定理，面积公式的使用;
求范围时，要特别注意椭圆定义（或性质）与
不等式的联合使用，如|PF1|&
bull;
|PF2|小于等于（|PF1|+|PF2|2）2，|PF1|&
a-c.
【变式训练2】已知P是椭圆x225+y29=1上的一点，Q，R分别是圆
（x+4）2+y2=14和圆
（x-4）2+y2=14上的点，则|PQ|+|PR|的最小值是 .
【解析】设F1，F2为椭圆左、右焦点，则F1，F2分别为两已知圆的圆
心，
则|PQ|+|PR|&
（|PF1|-12）+（|PF2|-12）=|PF1|+|PF2|-1=9.
所以|PQ|+|PR|的最小值为9.
题型三 有关椭圆的综合问题
【例3】
（2010全国新课标）设F1，F2分别是椭圆E：
x2a2+y2b2=1（a>
0）
的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，
|AB|，|BF2|成等差数列.
（1）求E的离心率;
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程.
（1）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，
又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得|AB|=43a.
l的方程为y=x+c，其中c=a2-b2.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组
化简得（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2-b2）=0，
则x1+x2=-2a2ca2+b2，x1x2=a2（c2-b2）a2+b2.
因为直线AB斜率为1，所以|AB|=2|x2-x1|=2[（x1+x2）2-4x1x2]，
即43a=4ab2a2+b2，故a2=2b2，
所以E的离心率e=ca=a2-b2a=22.
（2）设AB的中点为N（x0，y0），由
（1）知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c，
y0=x0+c=c3.
由|PA|=|PB|&
rArr;
kPN=-1，即y0+1x0=-1&
c=3.
从而a=32，b=3，故E的方程为x218+y29=1.
【变式训练3】已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>
0）的离心率为e，两焦点为
F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若
|PF1||PF2|=e，则e的值是（ ）
A.32B.33C.22D.63
【解析】设F1（-c,0），F2（c,0），P（x0，y0），则椭圆左准线x=-a2c，抛物线
准线为x=
-3c，x0-（-a2c）=x0-（-3c）&
c2a2=13&
e=33.故选B.
总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义
明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标
轴上（即定位），还要确定a、b的值（即定量），若定位条件不足应分类讨论，
或设方程为mx2+ny2=1（m>
0，m&
n）求解.
2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一
方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.
3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条
件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.
9.2 双曲线
题型一 双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：
（x+4）2+y2=2外切，与圆B：
（x-4）2+y2=2内
切，求动圆圆心E的轨迹方程.
【解析】设动圆E的半径为r，则由已知|AE|=r+2，|BE|=r-2，
所以|AE|-|BE|=22，又A（-4,0），B（4,0），所以|AB|=8,22根据双曲线定义知，
点E的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支.
因为a=2，c=4，所以b2=c2-a2=14，
故点E的轨迹方程是x22-y214=1（x&
2）.
【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何
条件，结合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.
【变式训练1】P为双曲线x29-y216=1的右支上一点，M，N分别是圆
（x+5）2+y2=4和
（x-5）2+y2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）
A.6B.7C.8D.9
【解析】选D.
题型二 双曲线几何性质的运用
【例2】双曲线C：
x2a2-y2b2=1（a>
0，b>
0）的右顶点为A，x轴上有一点
Q（2a,0），若C上存在一点P，使=0，求此双曲线离心率的取值范围.
【解析】设P（x，y），则由=0，得AP&
perp;
PQ，则P在以AQ为直径的
圆上，
即（x-3a2）2+y2=（a2）2，①
又P在双曲线上，得x2a2-y2b2=1，②
由①②消去y，得（a2+b2）x2-3a3x+2a4-a2b2=0，
即[（a2+b2）x-（2a3-ab2）]（x-a）=0，
当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去;
当x=2a3-ab2a2+b2时，满足题意的点P存在，需x=2a3-ab2a2+b2>
a，
化简得a2>
2b2，即3a2>
2c2，ca所以离心率的取值范围是（1，62）.
【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求
离心率的取值范围的常用方法.
【变式训练2】设离心率为e的
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