初二数学上学期知识点和典型例题总结Word文档格式.docx

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　　　　　　∴∥

　　2、如图，已知Δ≌Δ，∠30°

，∠50°

，2，求∠的度数与的长。

由全等三角形性质可知：

∠∠，，所以只需求∠的度数与的长即可。

在Δ中，

　　　　∠180°

-∠∠B，

　　　　　又∠30°

　　　　　所以∠100°

.

　　　　　又因为Δ≌Δ，

　　　　　所以∠∠，

　　　　　（全等三角形对应角相等，对应边相等）。

　　　　　2。

全等三角形的对应角相等，对应边相等。

　　【变式1】如图所示，Δ≌Δ，Δ≌Δ，∠90°

（1）⊥；

（2）∥.

（1）因为Δ≌Δ，

　　　　所以∠∠（全等三角形的对应角相等）.

　　　　因为∠∠180°

，所以∠∠90°

　　　　所以⊥.

（2）因为Δ≌Δ,

　　　　所以∠∠90°

　　　　因为∠90°

所以∠∠.

　　　　所以∥.

类型二：

全等三角形的证明

　　3、如图，＝，＝，∠＝∠，求证：

△≌△．

欲证△≌△，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过＝而得

∵＝（已知）

　　　　　∴＝（等式性质）

　　　　　即＝

　　　　　在△与△中

　　　　　∴△≌△（）

利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下：

（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，

（2）证明这两个三角形全等；

　　（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等．

　　【变式1】如图，已知∥，＝，求证：

　　【答案】∵∥

　　　　　　∴∠3＝∠4

　　　　　　在△和△中

　　　　　　∴△≌△（）

　　　　　　∴∠1＝∠2（全等三角形对应角相等）

　　　　　　∴∥（内错角相等两直线平行）

　　【变式2】如图，已知⊥于B，⊥于C，且＝，＝．

　　　　　　求证＝．

　　【答案】∵⊥（已知）

　　　　　∴∠＝90°

（垂直定义）

　　　　　　同理可证∠＝90°

　　　　　　∴∠＝∠

　　　　　　∵＝，＝

　　　　　　∴＝

　　　　　　　　＝

　　　　　　∴△≌△（S．A．S）

　　　　　　∴＝（全等三角形对应边相等）

类型三：

综合应用

　　4、如图，为Δ的中线。

求证：

>

2.

要证>

2，由图想到：

，>

，所以>

2，所以不能直接证出。

由2想到构造一条线段等于2，即倍长中线。

延长至E，使，连接

　　　　　因为为Δ的中线，

　　　　　所以.

　　　　　在Δ和Δ中，

　　　　　所以Δ≌Δ（）.

　　　　　在Δ中，>

2.

通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

　　【变式1】已知：

如图，在Δ中，,∠90°

∠1=∠2，⊥的延长线于E，

　　【答案】分别延长、交于F.

　　　　　　因为⊥,所以∠∠90°

　　　　　　在Δ和Δ中，

　　　　　　所以Δ≌Δ（）.

　　　　　　所以

　　　　　　又因为∠90°

⊥.

　　　　　　所以∠∠90°

，∠1+∠90°

　　　　　　所以∠∠.

　　　　　　所以Δ≌Δ（）

　　　　　　所以.所以2.

　　5、如图，＝，＝，∠B＝∠D，

　　　　　　求证：

（1）＝，

（2）∥，（3）∠＝∠

（1）直接通过△≌△而得，

（2）先证明∠＝∠，（3）由

（1）

（2）可证明△≌△而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角）所在的两个三角形然后证明它们全等．

（1）在△与△中

　　　　∴△≌△（）

　　　　∴＝（全等三角形对应边相等）

（2）∵∠＝∠（全等三角形对应角相等）

　　　　∴∥（内错角相等，两直线平行）

　　（3）在△与△中

　　　∴△≌△（）

　　　∴∠＝∠（全等三角形对应角相等）

在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一对三角形全等的条件．

　　【变式1】如图，在△中，延长边上的中线到F，使＝，延长边上的中线到G，使＝，求证＝．

　　【答案】在△与△中

　　　　　　在△与△中

　　　　　　∴＝（等量代换）

　　6、如图＝，⊥于D，⊥于E，、相交于F．

平分∠．

若能证得得，由于∠、∠都是直角，可证得△≌△，而要证，就应先考虑△与△，由题意已知，∠是公共角，可证得△≌△．

在△与△中

　　　　　∴（全等三角形对应边相等）

　　　　　∴∠∠（全等三角形对应角相等）

　　　　　∴平分∠（角平分线的定义）

　总结升华：

条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

　举一反三：

　　【变式1】求证：

有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．

　　【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．

　　已知：

如图，在△与△A′B′C′中．′B′，′C′，⊥于D，A′D′⊥B′C′于D′且′D′

　　求证：

△≌△A′B′C′

　　证明：

在△与△A′B′D′中

　　　　　∴△≌△A′B′D′（）

　　　　　∴∠∠B′（全等三角形对应角相等）

　　　　　在△与△A′B′C′中

　　　　　∴△≌△A′B′C′（）

　　【变式2】已知，如图，、相交于O，，∠C＝∠D＝90°

求证：

　　【答案】∵∠∠90°

　　　　　　∴△、△为直角三角形

　　　　　　∴

　　　　　　∴．

　　7、⊿中，，D是底边上任意一点，⊥，⊥，⊥垂足分别是E、F、G..

　　试判断：

猜测线段、、的数量有何关系？

并证明你的猜想。

寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径

结论：

　　方法一：

（截长法）板书此种方法（3分钟）

　　　　　　作⊥于M

　　　　　　∵⊥，⊥，⊥

　　　　　　∴四边形是矩形

　　　　　　∴∠∠B

　　　　　　∵

　　　　　∴∠∠

　　　　　　∴∠∠

　　　　　　而⊥，⊥

　　　　　　∴∠∠

　　　　　　在⊿和⊿中

　　　　　　∴⊿≌⊿（）

　　　　　　∴

　　方法二（补短法）作⊥交的延长线于M（证明过程略）

　　总结：

截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法

　　方法三（面积法）使用等积转化

　　引申：

如果将条件“D是底边上任意一点”改为“D是底边的延长线上任意一点”，此时图形如何？

、和会有怎样的关系？

画出图形，写出你的猜想并加以证明

　　【变式1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。

　　【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：

（1）截长法

（2）补短法（3）面积法

轴对称

考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

典例1．下列几何图形中，线段　角　直角三角形　半圆，其中一定是轴对称图形的有（　　　）

　　A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个

2．正n边形有条对称轴，圆有条对称轴

考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称

典例：

1、如图，△，∠90°

∠30°

8，D为中点，

P为上一动点，连接、,则的最小值是

2、已知等边，E在的延长线上，平分∠，P为射线上一点，Q为

上一点，连接、.若，求证∠是多少度

考点四、线段垂直平分线的性质

⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是

⑵线段的垂直平分线上的点到相等归类回忆角平分线的性质

⑴角是轴对称图形，其对称轴是⑵角平分线上的点到相等

典例1、如图，△中，∠90°

，为∠平分线，⊥，E是的中点，求∠C的度数。

2、如图，△中，，，连并延长交于D，求证：

垂直平分

3、如图是

中边的垂直平分线，若8厘米，10厘米，则

的周长为（）

A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米

4、如图，∠30°

，P是∠平分线上一点，∥，⊥，28,则

5、如图，在△中，∠=90°

，∠的平分线交于D.过C点作⊥于G，交于E.过D点作⊥于F.下列结论：

①∠∠；

②

︰

；

③∠2∠；

④

⑤.其中正确结论的序号是（）

A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤

考点五、等腰三角形的特征和识别

典例1、如图，△中，8，D在上，过D作∥交于E，∥

交于F，则四边形的周长为。

2、

如图，△中，、分别平分∠与∠，过D

且∥，若=7，=8，=6，则△周长为（）

A.15B.14C.13D.18

3、如图,点B、D、F在上、E在上，且

∠20o,则∠度．

4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°

，则它的一个底角的度数是

5、△中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若∠20°

，则∠等于°

6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于

7、已知，在△中，∠90°

，点D、E在直线上，且，，则∠=度.

8、如图：

在△中，，⊥，⊥于点E,⊥于点F。

试说明。

9、如图在△的边的延长线上，D点在边上，交于点F，

，.

△是等腰三角形.

考点六、等边三角形的特征和识别

⑴等边三角形