正多边形和圆计算Word文件下载.docx
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∴∠BOC=60°
则劣弧的长为=.
3.如图,☉O为正五边形ABCDE的外接圆,☉O的半径为2,则的长为 （ ）
【解析】选D.如图所示,∵☉O为正五边形ABCDE的外接圆,☉O的半径为2,
∴∠AOB==72°
∴的长为:
=.
【知识拓展】正n边形的有关计算
（1）边长:
an=2Rn·
sin.
（2）周长:
Pn=n·
an.
（3）边心距:
rn=Rn·
cos.
（4）面积:
Sn=an·
rn·
n.
（5）每一个内角的度数为.
（6）每一个外角的度数为.
（7）中心角的度数为.
4.如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形（阴影部分）图案,则树叶形图案的周长为 （ ）
A.πa B.2πa
C.πa D.3a
【解析】选A.∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=90°
.
则扇形ABC的弧长为l==aπ,
同理可求扇形ADC的弧长为aπ,
∴树叶形图案的周长为aπ×
2=πa.
【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,∴树叶形图案的周长为×
2πa=πa.
【互动探究】若求阴影部分的面积呢?
提示:
S阴影=2×
=a2.
二、填空题（每小题4分,共12分）
5.如图所示,正六边形ABCDEF内接于☉O,若☉O的半径为4,则阴影部分的面积等于________.
【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形,阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积,即为圆面积的.阴影部分的面积为=π.
答案:
π
如图,在扇形OAB中,∠AOB=90°
半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.
【解析】连接OD,∵将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,
∴OB=BD,OC=CD.
又∵OD=OB,∴△OBD是等边三角形,
∴C阴影部分=+AC+CD+BD=3π+12.
∵△OBD是等边三角形,
∴∠DBC=∠OBC=30°
在Rt△OCB中,tan∠OBC==,
∴OC=tan30°
×
6=2.
∴S阴影=S扇形OAB-2S△OCB=-2×
=9π-12.
6.如图,在△ABC中,AB=4cm,BC=2cm,∠ABC=30°
把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C′处,那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是________cm2.
【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积=扇形BAA′与扇形BCC′的面积差,为×
（42-22）=5π（cm2）.
5π
7.（2015·
密云期末）如图,边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时,D点的坐标是________,D点经过的路径的总长度是________;
当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是________.
【解析】如图,正方形ABCD每滚动4次为一个周期,
当点D第一次落在x轴上时,正方形ABCD滚动2次,D点的坐标是（3,0）;
D点经过的路径的总长度是+
=π.
每一个周期中D点经过的路径的总长度是
+×
2=π,
当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是:
2013×
π+π=π.
（3,0） π π
三、解答题（共22分）
8.（6分）（2015·
官渡期末）如图,已知☉O的半径为8cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切☉O于点C,的长为.求∠AOC的度数和线段AC的长.
【解析】设∠AOC=n°
;
=,解得:
n=60,
∴∠AOC=60°
∵AC切☉O于点C,∴∠ACO=90°
∴∠A=90°
-∠AOC=30°
∴AO=2OC=16,
∴AC===8.
9.（7分）（2015·
南昌期末）如图,边长为4cm的等边△ABC与☉O等高（即高与直径相等）,☉O与BC相切于点C,☉O与AC相交于点E.
求:
（1）CE的长.
（2）阴影部分的面积.
【解析】
（1）连接OC,并过点O作OF⊥CE于F,
且△ABC为等边三角形,边长为4,故高为2,即OC=,
又∠ACB=60°
☉O与BC相切,
∴OC⊥BC,故有∠OCF=30°
在Rt△OFC中,可得OF=,FC=,即CE=3.
（2）连接OE,S阴影=S扇形OCE-S△OCE=-×
3×
=π-.
【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式
（1）直角三角形外接圆半径等于斜边的一半（R=）.
（2）直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半（r=）.
（3）直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积,即ab=ch.
10.（9分）（2015·
龙岩期末）如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O,交BC于点D,交AC于点F,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
（1）求证:
（2）求证:
DE为☉O的切线.
（3）若CE=2,∠BAC=60°
求由DC,CF与所围成图形的面积S.
（1）连接AD.∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°
即AD⊥BC.
∵AB=AC,∴∠CAD=∠BAD,
∴=,
（2）连接OD.∵AB为☉O的直径,
∴AO=BO.
∵AD⊥BC,AB=AC,∴CD=DB.
∴OD是△ABC的中位线,∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE.
∵OD是半径,∴DE为☉O的切线.
（3）连接OF.∵AB=AC,OF=OA,∠BAC=60°
∴△ABC,△AFO都是等边三角形.
∴∠AFO=∠C=60°
.∴OF∥CD.
∵OD∥AC,∴四边形DCFO是平行四边形.
∵OD=OF,∴四边形DCFO是菱形.
∴∠C=∠FOD=60°
OD=DC=CF.∵DE⊥AC,
∴DC=2CE=4=OD=CF,
∴DE==2.
∴S=S四边形DCFO-S扇形FOD=4×
2-
=8-π.
【备选习题】
1.（2014·
内蒙古中考）如图,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,2,以点B为圆心的弧与AD,DC相切,则阴影部分面积为 （ ）
A.2-πB.4-π
C.2-πD.4-π
【解析】选A.如图,连接AC,BD,相交于点O,设以B为圆心的弧与AD相切于E点,连接BE,则BE⊥AD,
∵菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,2,
∴S菱形ABCD=·
AC·
BD=×
2×
2=2,
在Rt△AOD中,∵tan∠DAO===,
∴∠DAO=30°
∠ABC=120°
∴∠DAB=2∠DAO=60°
∴△ABD是等边三角形,∴BE=OA=,
∴S扇形=·
π·
（）2=π,
∴阴影部分的面积是S菱形ABCD-S扇形=2-π.
2.（2014·
河北中考）如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=________cm2.
【解析】由题意可知扇形的弧长为:
l=4cm,
所以S扇形=lr=×
4×
2=4cm2.
4
3.（2014·
荆门中考）如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与☉A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为________.
【解析】连接AC,设☉A的半径为R,∵CD切☉A于点C,∴AC⊥CD,即∠ACD=90°
在▱ABCD中,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=90°
∵AB=AC,∴△BAC是等腰直角三角形,∠B=45°
∵AD∥BC,∴∠FAD=∠B=45°
又∵的长为,∴=,解得R=2,∵∠D=∠B=45°
∴△ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,∠CAD=45°
∴S阴影=S△ACD-S扇形ACE=×
2-=2-.
4.（2014·
抚顺中考）如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长为半径作☉A交AB于点M,过点B作☉A的切线BF,切点为F.
（1）请判断直线BE与☉A的位置关系,并说明理由.
（2）如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.
（1）过点A作AG⊥BE,垂足为G,连接AE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∠BAE=∠AED.
又BE=BA,∴∠BAE=∠AEB,即∠BAE=∠AEG.
∴∠AEG=∠AED.
又∵∠AGE=∠ADE=90°
AE=AE,
∴△AEG≌△AED（AAS）.∴AG=AD.
∴直线BE与☉A相切.
（2）连接AF,
∵BF与BG都是☉A的切线,由切线长定理得,
△ABF≌△ABG,∠BAF=∠BAG,于是S阴影=S△ABF-S扇形AMF=S△ABG-S扇形AMG.
由
（1）知,AG=AD,∴AG=AD=BC=5.
在Rt△ABG中,AG=5,AB=10,
∴∠ABG=30°
∠BAG=60°
∴BG=AB·
cos∠ABG=10×
=5.
∴S阴影=S△ABG-S扇形AMG=×
5×
5-=-.
5.（2014·
昆明中考）如图,在△ABC中,∠ABC=90°
D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的圆O经过点D.
AC是☉O的切线.
（2）若∠A=60°
☉O的半径为2,求阴影部分的面积（结果保留根号和π）.
（1）连接OD,OB=OD,则∠1=∠BDO,
∴∠DOC=2∠1=∠A,
在Rt△ABC中,∠A+∠C=90°
即∠DOC+∠C=90°
∴∠ODC=90°
即OD⊥DC.
∴AC为☉O的切线.
（2）当∠A=60°
时,即在Rt△OCD中,∠C=30°
OD=r=2.
∴∠DOC=60°
CD=2.
∴S△ODC=OD×
DC=2,S扇形==,
∴S阴影=S△ODC-S扇形=2-.
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