17 两个重要极限练习题Word文件下载.docx
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的特点:
(1)它是“
”型,即若形式地应用商求极限的法则,得到的结果是
;
(2)在分式中同时出现三角函数和x的幂.
推广 如果
ϕ(x)=0,(a可以是有限数x0,±
∞或∞),
则
=
=1.
例1求
解
例2求
例3求
例4求
解 令arcsinx=t,则x=sint且x→0时t→0.
所以
例5求
=
考察极限
问题2:
观察当x→+∞时函数的变化趋势:
x
1
2
10
1000
10000
100000
2.25
2.594
2.717
2.7181
2.7182
2.71828
当x取正值并无限增大时,
是逐渐增大的,但是不论x如何大,
的值总不会超过3.实际上如果继续增大x.即当x→+∞时,可以验证
是趋近于一个确定的无理数e=2.718281828....
当x→-∞时,函数
有类似的变化趋势,只是它是逐渐减小而趋向于e.
综上所述,得
二.
=e.
=e的特点:
(1)lim(1+无穷小)
;
(2)“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.
推广 (1)若
ϕ(x)=∞,(a可以是有限数x0,±
∞或∞),则
=e;
(2)若
变形 令
=t,则x→∞时t→0,代入后得到
.
如果在形式上分别对底和幂求极限,得到的是不确定的结果1∞,因此通常称之为1∞不定型.
例6求
解 令-
=t,则x=-
当x→∞时t→0,
于是
=e–2.
例7求
解 令
=1+u,则x=2-
当x→∞时u→0,
=e-1.
例8求
解 设t=tanx,则
=cotx.
当x→0时t→0,
小结:
两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用,特别要注意其变式。
作业:
见首页
§
2-1导数的概念
一、两个实例
实例1瞬时速度
考察质点的自由落体运动.真空中,质点在时刻t=0到时刻t这一时间段下落的路程s由公式s=
gt2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.
当∆t很小时,从1秒到1+∆t秒这段时间,质点运动的速度变化不大,可以这段时间的平均速度作为质点在t=1时速度的近似.
∆t(s)
∆s(m)
(m/s)
0.1
1.029
10.29
0.01
0.09849
9.849
0.001
0.0098049
9.8049
0.0001
0.000980049
9.80049
0.00001
0.
9.800049
上表看出,平均速度
随着∆t变化而变化,当∆t越小时,
越接近于一个定值—9.8m/s.考察下列各式:
∆s=
g⋅(1+∆t)2-
g⋅12=
g[2⋅∆t+(∆t)2],
g⋅
g(2+∆t),
思考:
当∆t越来越接近于0时,
越来越接近于1秒时的“速度”.现在取∆t→0的极限,得
g=9.8(m/s).
为质点在
=1秒时速度为瞬时速度.
一般地,设质点的位移规律是s=f(t),在时刻t时时间有改变量∆t,s相应的改变量为∆s=f(t+∆t)-f(t),在时间段t到t+∆t的平均速度为
,
对平均速度取∆t→0的极限,得
v(t)=
称v(t)为时刻t的瞬时速。
研究类似的例子
实例2曲线的切线
设方程为y=f(x)曲线为L.其上一点A的坐标为(x0,f(x0)).在曲线上点A附近另取一点B,它的坐标是(x0+∆x,f(x0+∆x)).直线AB是曲线的割线,它的倾斜角记作β.由图中的Rt∆ACB,可知割线AB的斜率
tanβ=
在数量上,它表示当自变量从x变到x+∆x时函数f(x)
关于变量x的平均变化率(增长率或减小率).
现在让点B沿着曲线L趋向于点A,此时∆x→0,
过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——
直线AT,我们就称L在点A处存在切线AT.记AT
的倾斜角为α,则α为β的极限,若α≠90︒,得切线AT
的斜率为
tanα=
tanβ=
在数量上,它表示函数f(x)在x处的变化率.
上述两个实例,虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体容不同,但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.
1.自变量x作微小变化∆x,求出函数在自变量这个段的平均变化率
,作为点x处变化率的近似;
2.对
求∆x→0的极限
,若它存在,这个极限即为点x处变化率的的精确值.
二、导数的定义
1.函数在一点处可导的概念
定义设函数y=f(x)在x0的某个邻域有定义.对应于自变量x在x0处有改变量∆x,函数y=f(x)相应的改变量为∆y=f(x0+∆x)-f(x0),若这两个改变量的比
当∆x→0时存在极限,我们就称函数y=f(x)在点x0处可导,并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作
或f'
(x0)或
或
.即
=f'
(x0)=
(2-1)
比值
表示函数y=f(x)在x0到x0+∆x之间的平均变化率,导数
则表示了函数在点x0处的变化率,它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢.
如果当∆x→0时
的极限不存在,我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在.
在定义中,若设x=x0+∆x,则(2-1)可写成
f'
(2-2)
根据导数的定义,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下:
第一步求函数的改变量∆y=f(x0+∆x)-f(x0);
第二步求比值
第三步求极限f'
例1求y=f(x)=x2在点x=2处的导数.
解∆y=f(2+∆x)-f
(2)=(2+∆x)2-22=4∆x+(∆x)2;
=4+∆x;
(4+∆x)=4.
所以y'
|x=2=4.
当
存在时,称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数,记作
当
存在时,称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数,记作
据极限与左、右极限之间的关系
(x0)⇔存在
,且
=f'
(x0).
2.导函数的概念
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)每一点处都可导,就称函数y=f(x)在开区间(a,b)可导.这时,对开区间(a,b)每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f'
(x0),这样就在开区间(a,b),构成一个新的函数,我们把这一新的函数称为f(x)的导函数,记作等f'
(x)或y'
等.
根据导数定义,就可得出导函数
(x)=y'
(2-3)
导函数也简称为导数.
注意 (1)f'
(x)是x的函数,而f'
(x0)是一个数值
(2)f(x)在点处的导数f'
(x0)就是导函数f'
(x)在点x0处的函数值.
例2求y=C(C为常数)的导数.
解 因为∆y=C-C=0,
=0,所以y'
=0.
即(C)'
=0常数的导数恒等于零).
例3求y=xn(n∈N,x∈R)的导数.
解因为∆y=(x+∆x)n-xn=nxn-1∆x+
xn-2(∆x)2+...+(∆x)n,
=nxn-1+
xn-2⋅∆x+...+(∆x)n-1,
从而有y'
[nxn-1+
xn-2⋅∆x+...+(∆x)n-1]=nxn-1.
即(xn)'
=nxn-1.
可以证明,一般的幂函数y=xα,(α∈R,x>
0)的导数为
(xα)'
=αxα-1.
例如 (
)'
=(
(
=(x-1)'
=-x-2=-
例4求y=sinx,(x∈R)的导数.
,在§
1-7中已经求得
=cosx,
即(sinx)'
=cosx.
用类似的方法可以求得y=cosx,(x∈R)的导数为
(cosx)'
=-sinx.
例5求y=logax的导数(a>
0,a≠1,x>
0).
解 对a=e、y=lnx的情况,在§
1-7中已经求得为
(lnx)'
对一般的a,只要先用换底公式得y=logax=
,以下与§
1-7完全相同推导,可得
(logax)'
三、导数的几何意义
方程为y=f(x)的曲线,在点A(x0,f(x0))处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f'
(x0),且AT的斜率k=f'
导数的几何意义——函数y=f(x)在x0处的导数f'
(x0),是函数图象在点(x0,f(x0))处切线的斜率,另一方面也可立即得到切线的方程为
y-f(x0)=f'
(x0)(x-x0) (2-4)
过切点A(x0,f(x0))且垂直于切线的直线,称为曲线y=f(x)在点A(x0,f(x0))处的法线,则当切线非水平(即f'
(x0)≠0)时的法线方程为
y-f(x0)=-
(x-x0)(2-5)
例6求曲线y=sinx在点(
)处的切线和法线方程.
解 (sinx)'
=cosx
所求的切线和法线方程为 y-
(x-
),
法线方程 y-
=-
).
例7求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程.
解 设切点为A(x0,y0),则曲线在点A处的切线的斜率为y'
(x0),
y'
(x0)=(lnx)'
因为切线平行于直线y=2x,,所以
=2,即x0=
又切点位于曲线上,因而y0=ln
=-ln2.
故所求的切线方程为
y+ln2=2(x-
),即y=2x-1-ln2.
四、可导和连续的关系
如果函数y=f(x)在点x0处可导,则存在极限
(x0),则
(x0)+α(
α=0),或∆y=f'
(x0)∆x+α⋅∆x(
α=0),
所以
∆y=
[f'
(x0)∆x+α⋅∆x]=0.
这表明函数y=f(x)在点x0处连续.
但y=f(x)在点x0处连续,在x0处不一定是可导的.
例如:
(1)y=|x|在x=0处都连续但却不可导.
(2)y=
在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线,只是切线是垂直的.
学生思考: