高中数学人教A版选修11导数及其应用章末检测B 8Word文档下载推荐.docx
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6．曲线y＝
在点（－1，－1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
7．已知a>
0，函数f（x）＝－x3＋ax在[1，＋∞）上是单调减函数，则a的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．若函数f（x）＝asinx＋
cosx在x＝
处有最值，那么a等于（ ）
B．－
C.
D．－
9．函数y＝x－sinx，x∈
的最大值是（ ）
A．π－1B.
－1
C．πD．π＋1
10.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．函数f（x）＝
的单调增区间是（ ）
A．（－∞，1）B．（1，＋∞）
C．（－∞，1），（1，＋∞）D．（－∞，－1），（1，＋∞）
12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k（k>
0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈（0,0.048）），则存款利率为多少时，银行可获得最大利益（ ）
A．0.012B．0.024C．0.032D．0.036
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f
（1））处的切线方程是y＝
x＋2，则f
（1）＋f′
（1）＝____________________________________________________________________
14．设函数f（x）＝ax3－3x＋1（x∈R），若对于x∈[－1，1]，都有f（x）≥0，则实数a的值为_____________________________________________________
15.如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
16．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±
1处的切线的倾斜角均为
π，有以下命题：
①f（x）的解析式为f（x）＝x3－4x，x∈[－2,2]．
②f（x）的极值点有且只有一个．
③f（x）的最大值与最小值之和等于零．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）若函数f（x）＝
x3－
ax2＋（a－1）x＋1在区间（1,4）上为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－
与x＝1时都取得极值．
（1）求a，b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[－1,2]，不等式f（x）<
c2恒成立，求c的取值范围．
19.（12分）某大型商厦一年内需要购进电脑5000台，每台电脑的价格为4000元，每次订购电脑的其它费用为1600元，年保管费用率为10%（例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60000元，则
＝10%为年保管费用率），求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？
20．（12分）已知a≥0，函数f（x）＝（x2－2ax）ex.
（1）当x为何值时，f（x）取得最小值？
证明你的结论；
（2）设f（x）在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
21.（12分）设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求证：
当a>
ln2－1且x>
0时，ex>
x2－2ax＋1.
22．（12分）已知函数f（x）＝x2＋lnx.
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
当x∈（1，＋∞）时，函数f（x）的图象在g（x）＝
x3＋
x2的下方．
第三章 导数及其应用（B）答案
1．B [f′（xA）和f′（xB）分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′（xA）<
f′（xB）．]
2．B [物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s（t）在t＝0处的导数．
s′（0）＝s′|t＝0＝（3－2t）|t＝0＝3.]
3．B [∵曲线过点（
，3），∴3＝2a2＋1，∴a＝1，
∴切点为（1,3）．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，
∴该点处切线斜率为k＝4，
∴切线方程为y－3＝4（x－1），即y＝4x－1.]
4．B
5．B [f′（x）＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，
则a≥－3x2，x∈（1，＋∞），∴a≥－3.]
6．A [∵y′＝
＝
，
∴k＝y′|x＝－1＝
＝2，
∴切线方程为：
y＋1＝2（x＋1），即y＝2x＋1.]
7．C
8．A [f′（x）＝acosx－
sinx，由题意f′
＝0，
即a·
－
×
＝0，∴a＝
.]
9．C [y′＝1－cosx≥0，所以y＝x－sinx在
上为增函数．∴当x＝π时，
ymax＝π.]
10．A [由图象看，在图象与x轴的交点处左侧f′（x）<
0，右侧f′（x）>
0的点才满足题意，这样的点只有一个B点．]
11．C [∵f′（x）＝
>
0，又x≠1，
∴f（x）的单调增区间为（－∞，1），（1，＋∞）．]
12．B [由题意知，存款量g（x）＝kx（k>
0），银行应支付的利息h（x）＝xg（x）＝kx2，
x∈（0，0.048）．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]
13．3
解析 由切点（1，f
（1））在切线y＝
x＋2上，
得f
（1）＝
1＋2＝
.又∵f′
（1）＝
∴f′
（1）＋f
（1）＝
＋
＝3.
14．4
解析 若x＝0，则不论a取何值，f（x）≥0，显然成立；
当x∈（0,1]时，f（x）＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≥
设g（x）＝
，则g′（x）＝
所以g（x）在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
因此g（x）max＝g
＝4，从而a≥4；
当x∈[－1,0）时，f（x）＝ax3－3x＋1≥0
可转化为a≤
所以g（x）在区间[－1,0）上单调递增．
因此g（x）min＝g（－1）＝4，从而a≤4，
综上所述，a＝4.
15.
解析 设CD＝x，则点C坐标为
.
点B坐标为
∴矩形ABCD的面积
S＝f（x）＝x·
＝－
＋x（x∈（0,2））．
由f′（x）＝－
x2＋1＝0，
得x1＝－
（舍），x2＝
∴x∈
时，f′（x）>
0，f（x）是递增的，
x∈
时，f′（x）<
0，f（x）是递减的，
当x＝
时，f（x）取最大值
16．①③
解析 f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
由题意得f（0）＝0，
f′（－1）＝f′
（1）＝tan
＝－1.
∴
，∴a＝0，b＝－4，c＝0.
∴f（x）＝x3－4x，x∈[－2,2]．故①正确．
由f′（x）＝3x2－4＝0得x1＝－
，x2＝
根据x1，x2分析f′（x）的符号、f（x）的单调性和极值点.
x
－2
（－2，－
）
（－
（
，2）
f′（x）
f（x）
∴x＝－
是极大值点也是最大值点．
x＝
是极小值点也是最小值点．
f（x）min＋f（x）max＝0.∴②错，③正确．
17．解 f′（x）＝x2－ax＋a－1，
由题意知f′（x）≤0在（1,4）上恒成立，
且f′（x）≥0在（6，＋∞）上恒成立．
由f′（x）≤0得x2－ax＋a－1≤0，
即x2－1≤a（x－1）．
∵x∈（1,4），∴x－1∈（0,3），
∴a≥
＝x＋1.
又∵x＋1∈（2,5），∴a≥5，①
由f′（x）≥0得x2－ax＋a－1≥0，
即x2－1≥a（x－1）．
∵x∈（6，＋∞），∴x－1>
0，
∴a≤
＝x＋1.
又∵x＋1∈（7，＋∞），∴a≤7，②
∵①②同时成立，∴5≤a≤7.
经检验a＝5或a＝7都符合题意，
∴所求a的取值范围为5≤a≤7.
18．解
（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，
f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
由f′
a＋b＝0，
f′
（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝－
，b＝－2.
f′（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
令f′（x）>
0，得x<
或x>
1，
令f′（x）<
0，得－
<
x<
1.
所以函数f（x）的递增区间是
和（1，＋∞），递减区间是
（2）f（x）＝x3－
x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
由
（1）知，当x＝－
时，f
＋c为极大值，
而f
（2）＝2＋c，则f
（2）＝2＋c为最大值，
要使f（x）<
c2，x∈[－1,2]恒成立，
则只需要c2>
f
（2）＝2＋c，得c<
－1或c>
2.
19．解 设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为
x台，所以每年的保管费用为
x·
4000·
10%元，
而每年的订货电脑的其它费用为
·
1600元，
这样每年的总费用为
1600＋
10%元．
令y＝
10%，
y′＝－
5000·
10%.
令y′＝0，解得x＝200（台）．
也就是当x
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