中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析Word格式文档下载.docx
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2,
时,iimf(x)
xk
iimxcotxk
xcosxiimxksinx
(k
)为函数
f(x)
cotx
的第二类无穷间断点
2•求极限
iim
o(1
xdt
解iim
0(1
t2)
~2x
xe
etdt
(3分)
(1
(2x
x)e
x2)
(1分)
2xx
3•设方程xy
yx
(x0,y0)确定二阶可导函数y
y(x)
求竺
dx
解1对x.y
仮两边取对数,得
丄iny
丄inx,y
yin
xlnx
等式两边关于x求导,
得:
(1iny)dy
in
d2yddydx2dxdx
1
-(1iny)(1
inx)
dy
(1iny)2
y(1Iny)2x(1Inx)2
xy(1Iny)3.
-(1分)
三.(共3小题,每小题7分,共计21分)
1.求不定积分
sinxcos3x
1sin2x
解1sin2x
sinx(1sin2x)
d(sinx)
(令sinx
t(1学dt=
t2
2•设
In
ln(1
是函数
(ln2x)
f(x)dx
1.2sinx
2
sin2x)C.
(2分)
f(x)的一个原函数,
f(x)dx.
2Inx
f(x),
In2
(2分)
xf(x)dxxdf(x)
xf(x)f(x)dx
2InxInxC.
3.求定积分(x3sinx4cos72x)dx.
7
04cos72xdx
4
----(2分)
24cos72xdx
(令2xt)
(1分)
2cos7tdt
6!
!
7!
.
(1分)
四•(共2小题,每小题6分,共计12分)
1.已知一个长方形的长I以2cm/s的速度增加,宽w以3cm/s的速度增加,则当长为
12cm,宽为5cm时,它的对角线的增加率是多少?
解:
设长方形的对角线为y,则y2I2W2(2
dl
小dw
2w-,
dt
dw
—
(1)
(2
两边关于t求导,得2y—y2l
dy.dl即yIw
dtdt
dld^v:
22-
已知2,3,112,w5,y1225213,代入
(1)式,得
对角线的增加率:
史3(cm/s).
2•物体按规律Xct做直线运动,该物体所受阻力与速度平方成正比,比例系数为1,
计算该物体由X0移至Xa时克服阻力所做的功.
v(t)dx2ct
k4c2t24c2t2
4cx,
a2
4cxdx=2ca
o
五.(本题
10分)已知f(x)
5arctanx,试讨论函数的单调区间,极值,凹凸性,
拐点,
渐近线
解函数的定义域为(
).f(x)1笃x
1x
4,令f(x)0得驻点
x2.
——(1分)
f(x)豎三,令f(X)0,得可能拐点的横坐标:
x0.(1分)
(1x)
列表讨论函数的单调区间,极值,凹凸性,拐点:
(,2)
(2,0)
(0,2)
(2,)
f(x)
yf(x)
极大值
25arctan2
极小值
25arctan2
拐点
(0,0)
5arctanx
a1
lim
)1,
b1
[f(X)
^x]
lim(
5
5arctanx)
<
5arctanx
a2
b2
[f(x)
a?
x]
5arctanx)-
渐近线为:
yx—.(2
六•(共2小题,每小题
7分,共计14分)
1•试求曲线y
.xe2(x
0)
与x轴所夹的平面图形绕
x轴旋转所得到的伸展到
无穷远处的旋转体的体积
解:
V°
y2dx
°
xexdx
-(4分)
(x
1)e
2.求微分方程y
lim(x
5y4y32x的通解•
对应齐次方程的通解为:
C1e
C?
e
而0不是特征根,可设非齐次方程的特解为
AxB
代入原方程可得,A
故所要求的通解为y
Ge4xC2e
x11
28
11
8
七.(本题7分)叙述罗尔(Rolle)中值定理,并用此定理证明:
在(0,)内至少有一个实根,其中a「a2,an为常数•
,则
得
罗尔(Rolle)中值定理:
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)f(b)
(a,b),使
f()0.(3分)
a2sin2xansinnx
令f(x)a-isinx,
2n
-----(2
在[0,]上连续,在(0,)内可导,且f(x)a1cosxa2cos2x
ancosnx
f(0)f()0,由罗尔中值定理,(0,),
使得f()a1cosa2cos2ancosn0,
即方程aicosxa2cos2xancosnx0在(0,)内至少有一个实根•一(2
各章所占分值如下:
第
一早
函数与极限
13%
——-
一元函数的导数与微分
16%
二早
微分中值定理与导数的应用
20%
四章
不定积分
14%
第五章定积分及其应用
第六章
常微分方程
2014—2015学年第一学期
《高等数学(2-1)》期末考试A卷
(工科类)
参考答案及评分标准
第一章函数与极限
第二章一元函数的导数与微分
第三章微分中值定理与导数的应用
第四章不定积分
16%;
14%;
15%;
26%.
13%.
第六章常微分方程
.(共3小题,每小题4分,共计12分)判断下列命题是否正确'
题后的括号内打“V”或“”,如果正确,请给出证明,如果不正确请举一个反例进行说明•
1.极限limsin不存在•(
X0
证设f(X)
sin,取xn
题
分
1,2,)
limxn0,
n
limyn
0,
但lim
f(Xn)
sin
limsin2n
0,
Xn
f(yn)
limsin(2n
-)1,
yn
海涅
疋
理,
limsin—
不
x0X
2n
由
2.若曲线y
f(X)在(Xo,f(Xo))点处存在切线,
则f(X)在Xo点必可导.
(2分)
例:
yx在(0,0)点处有切线X0,但y3x在X0处不可导
f(x)x4在[2,3]上连续且下凸,但f(0)0.
(共3小题,每小题6分,共计18分)
1.求极限lim(
1)sin(n!
)
解
sin(n!
)1,
nim(nn1)
本题满分18分
本题得分
(3
lim(n1)sin(n!
)0.
n<
n
(3分)
2•求极限lim
0(1t)exdt
x4txx4t
n(1t4)etxdt(1t4)etdt
解lim4lim—厂—(3
xxxxe
x4)ex
(4x3
4x3
-(3分)
~2~
212
n、
~22).
nn
n)
n-2~n
n212
3•求极限lim(
解lim