中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析Word格式文档下载.docx

1、2,时,iim f （x）x kiim xcotx kxcosx iim x k sin x（k）为函数f（x）cotx的第二类无穷间断点2 求极限iimo（1xdt解 iim0（1t2）2 xx eetdt（3 分）（1（2xx ）ex2）（1 分）2x x3 设方程x yyx（x 0, y 0）确定二阶可导函数 yy（x）求竺dx解1 对x. y仮两边取对数，得丄iny丄inx , yyinxln x等式两边关于x求导,得：（1 in y）dyind2y d dy dx2 dx dx1-（1 in y） （1inx）dy（1 iny）2y（1 In y）2 x（1 In x）2xy（1 I

2、n y）3 .-（1 分）三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1 .求不定积分sin xcos3 x1 sin2 x解 1 sin2 xsin x（1 sin 2 x）d （sin x）（令 sinxt（1 学dt =t22 设Inln（1是函数（ln2x）f （x）dx1 . 2 sin x2sin2 x） C .（2 分）f （x）的一个原函数,f （x） dx.2I nxf（x），In2（2分）x f （x） dx x df（x）x f（x） f （x） dx2 In x In x C. 3.求定积分 （x3 sin x4 cos7 2x） dx .70 4 cos7 2x dx

3、4-（2 分）2 4 cos72x dx （ 令 2x t ）（1分）2 cos7t dt 6!7! . （1 分）四（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1.已知一个长方形的长I以2cm/s的速度增加，宽 w以3cm/s的速度增加，则当长为12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y，则 y2 I2 W2 （2dl小 dw2w -,dtdw（1） （2两边关于t求导，得 2y y 2ldy . dl 即 y I wdt dtdl dv : 2 2-已知 2, 3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得对角线的增加率： 史 3 （ cm/

4、s）. 2物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为 1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v（t） dx 2ctk4c2t2 4c2t24cx ,a 24cxdx = 2cao五.（本题10分）已知f（x）5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为 （）.f （x） 1 笃 x1 x4，令f （x） 0得驻点x 2. （1 分）f （x） 豎三，令f （X） 0,得可能拐点的横坐标： x 0. （ 1 分）（1 x ）列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：（,2）（2,0）（0,2）（2,）f （x）y

5、 f（x）极大值2 5 arcta n 2极小值2 5 arctan2拐点（0,0）5arcta n xa1lim）1,b1f（X）xlim （55arcta n x）5 arcta n xa2b2f （x）a?x5 arcta nx）-渐近线为：y x . （ 2六（共2小题，每小题7分，共计14分）1试求曲线y.xe 2 （x0）与x轴所夹的平面图形绕x轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积解:V y2dx xe xdx -（4 分）（x1）e2.求微分方程ylim （x5y 4y 3 2x的通解对应齐次方程的通解为:C1 eC?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为Ax B代入原方

6、程可得，A故所要求的通解为 yGe 4x C2ex 112 8118七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle）中值定理，并用此定理证明:在（0,）内至少有一个实根，其中 aa2, an为常数，则得罗尔（Rolle）中值定理：设 f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导， f（a） f（b）（a,b） ， 使f （ ） 0. （ 3 分）a2 sin 2x an sin nx令 f （x） a-i sin x ， 2 n-（2在0,上连续，在（0,）内可导，且f （x） a1 cosx a2cos2xan cosnxf （0） f（ ） 0,由罗尔中值定理， （0 ,）,使得 f （ ） a1 c

7、os a2 cos2 an cos n 0,即方程ai cosx a2 cos2x an cos nx 0在（0,）内至少有一个实根 一 （ 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %-一元函数的导数与微分16 %二早微分中值定理与导数的应用20 %四章不定积分14 %第五章 定积分及其应用第六章常微分方程2014 2015学年第一学期高等数学（2-1 ）期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准第一章 函数与极限第二章 一元函数的导数与微分第三章 微分中值定理与导数的应用第四章 不定积分16 % ；14% ；15% ；26 % .13 % .第六章 常微分方程.（共3小题，每小题4分，共计1

8、2分）判断下列命题是否正确 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 1 .极限lim sin 不存在（X 0证设f（X）sin ，取 xn题分1,2,）lim xn 0,nlim yn0,但limf （Xn）sinlim sin2n0 ,Xnf （yn）lim sin（2n-）1,yn海 涅疋理 ，lim sin 不x 0 X2n由2 .若曲线yf （X）在（Xo , f （Xo）点处存在切线，则f（X）在Xo点必可导. （2 分）例：y x在（0,0）点处有切线X 0，但y 3 x在X 0处不可导f（x） x4在2,3上连续且下凸，但 f （0） 0 .（共3小题，每小题6分，共计18分）1.求极限lim （1） sin（n!）解sin（n!） 1, nim（nn 1）本题满分18分本 题 得 分（3lim （ n 1） sin（n !） 0 .n n（3分）2求极限lim0（1 t ）e xdtx 4 t x x 4 tn（1 t4）etxdt （1 t4）etdt解 lim 4 lim 厂 （3x x x x ex4）ex（4x34x3-（3 分）221 2n 、2 2 ）.n nn ）n -2 nn2 123 求极限lim （解 lim