第一节三角形常应变单元Word文档格式.docx
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三角形单元的顶点取为节点。
3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。
这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体，以代替原来的弹性体。
注：
1.全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。
2.节点编码：
总码-----------用于整体分析，如1,2，…，按自然顺序编号
局部码--------用于单元分析，i，j，m要求按逆时针方向的顺序进行编码
每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系
3.单元间不能有重叠
4.一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点
5.所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。
二、位移模式
1.单元节点位移列阵
图3.2
平面三角形单元
设单元e的节点号码为i，j，m。
由弹性力学平面可知，单元内任意一点有两个位移分量u，v，记为
故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。
3个节点得位移分量分别是
，用列阵表示为
（3-1）
称单元自由度是6。
其中任一子矩阵为
（i，j，m轮换）
2.位移模式
结构承受载荷以后发生位移，但位移分布事先并不知道。
位移法有限元采用节点位移为基本未知量。
因此，在应用位移法有限元时，需要对单元内部的位移分布进行假定，使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。
单元位移分布的假定一般选用代数多项式，多项式的系数待定。
这是一种近似方法。
代数多项式的次数可以选择很高，不过次数越高，分析越麻烦，但精确度越好。
这种假定的单元位移分布形式称为位移模式，它是坐标x和y的函数，所以也称为位移函数。
对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u，v表示为坐标x和y的线性函数，即
（3-2）
式中
为待定常数
设各节点坐标为（xi,yi）,（xj,yj）,（xm,ym），同时设各节点位移为（ui,vi）,（uj,vj）,（um,vm）代入式（3-2）得
由上式左边的三个方程可以求得
，
其中
为三角形面积，为了保证求得的面积为正值，三个节点i，j，m必须按逆时针编排，如图3-2所示。
将
代入式（3-2），经整理得
其中
（i，j，m轮换）
（3-3）
同理得
若令
（i,j,m轮换）
（3-4）
则得位移模式为
（3-5）
也可写成矩阵形式
（3-6）
是坐标的线性函数，它们反映了单元的位移状态，所以称为形函数，且称
为形函数矩阵。
例题1图示单元，已知各
节点的坐标（单位:
m），
计算：
1.形函数的表达
式；
边中点A的形函数。
2.已知各节点的位移：
1（0，-0.001），2（0.002,0），
3（0,0），计算
边中点A的位移。
图3.3例题1
解：
1.
Δ=1
因
（i,j,m轮换），得
在
边中点A有x=0,y=1
，将其代入上式，的
2.单元节点位移
由方程（3-5），得
边中点A的位移
三、应变
有了单元位移模式（3-5），利用平面问题的几何方程
可以求得应变分量。
而
所以
写成矩阵形式
简写成
（3-7）
将其写成分块矩阵形式
（3-8）
而子矩阵
（3-9）
1.式（3-9）是用节点位移表示单元应变的矩阵方程，其中矩阵
称之为单元应变矩阵。
2.由于
等都是常数，所以矩阵
中的元素都是常数，因而单元中各点的应变分量
也都是常数。
故这种单元称为常应变单元。
例题2
对于例1单元，试计算单元应变。
所以单元应变为
四、应力
求得应变后，利用物理方程
便可导出以节点位移表示的应力关系式中。
把式（3-7）代入上式，得
（3-10）
令
则
（3-11）
上式表示的是应力与节点位移之间的关系。
式中矩阵
称之为单元应力矩阵，写成分块矩阵的形式
（3-12）
对于平面应力问题，其弹性矩阵
为
代入式（3-12），得对应于平面应力问题的应力矩阵
（i,j,m轮换）（3-13）
对于平面应变问题，只要把平面应力问题的弹性矩阵中的E换成
换成
，即得其弹性矩阵为
则对应于平面应变问题的应力矩阵为
（i,j,m轮换）（3-14）
1.由（3-13）和（3-14）式知，
中的元素都是常数，所以每个单元中的应力分量也是常数。
故这种单元也称为常应力单元。
2.由于相邻单元将具有不同的应力和应变。
这样越过公共边界，即从一个单元过渡到另一个与它相邻的单元，应力和应变的值都将有突变；
但从一个单元过渡到另一个与它相邻的单元，位移是连续的。
3.随着单元的缩小，可减小这种应力和应变的突变
例题3
对于例1单元，试计算单元应力。
所以单元应力为
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