高考数学一轮复习双曲线Word文档下载推荐.docx
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e=
,e∈(1,+∞),其中c=
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;
线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;
a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
通径
过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为
a、b、c的关系
c2=a2+b2(c>
a>
0,c>
b>
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选C ∵双曲线方程可化为x2-
=1,
∴a2=1,b2=
.∴c2=a2+b2=
,c=
.
∴左焦点坐标为
2.(教材习题改编)若双曲线
-y2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为( )
B.
C.
D.2
选C 依题意得a2+1=4,a2=3,
故e=
=
3.设F1,F2是双曲线x2-
=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.4
B.8
C.24D.48
选C 由P是双曲线上的一点和3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=2c=10,所以△PF1F2为直角三角形,所以△PF1F2的面积S=
×
6×
8=24.
4.双曲线
-y2=1(a>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为________________.
由题意知
=2,解得a=
,故该双曲线的渐近线方程是
x±
y=0,即y=±
x.
答案:
5.已知F1(0,-5),F2(0,5),一曲线上任意一点M满足|MF1|-|MF2|=8,若该曲线的一条渐近线的斜率为k,该曲线的离心率为e,则|k|·
e=________.
根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支,
∵c=5,a=4,∴b=3,e=
,|k|=
∴|k|·
1.区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e>1;
椭圆的离心率e∈(0,1).
2.渐近线与离心率:
0)的一条渐近线的斜率为
.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小.
[注意] 当a>
0时,双曲线的离心率满足1<
e<
;
当a=b>
0时,e=
(亦称为等轴双曲线);
当b>
0时,e>
3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:
当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;
反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.
双曲线的定义及标准方程
典题导入
[例1]
(1)(2012·
湖南高考)已知双曲线C:
=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
=1 B.
=1
=1D.
(2)(2012·
辽宁高考)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.
[自主解答]
(1)∵
=1的焦距为10,
∴c=5=
.①
又双曲线渐近线方程为y=±
x,且P(2,1)在渐近线上,∴
=1,即a=2b.②
由①②解得a=2
,b=
(2)不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,
所以(2
)2=|PF1|2+|PF2|2,
又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·
|PF2|=4,
则(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·
|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2
[答案]
(1)A
(2)2
由题悟法
1.应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.
2.双曲线方程的求法
(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<
0).
(2)与双曲线
=1有共同渐近线的双曲线方程可设为
=λ(λ≠0).
(3)若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ(λ≠0).
以题试法
1.(2012·
大连模拟)设P是双曲线
=1上一点,F1,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=( )
A.1B.17
C.1或17D.以上答案均不对
选B 由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又∵|PF1|=9,∴|PF2|=1或17,但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17.
双曲线的几何性质
[例2] (2012·
浙江高考)如图,F1,F2分别是双曲线C:
=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( )
B.
D.
[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).
∵B(0,b),∴F1B所在的直线为-
+
=1.①
双曲线渐近线为y=±
x,
由
得Q
得P
,
∴PQ的中点坐标为
由a2+b2=c2得,PQ的中点坐标可化为
直线F1B的斜率为k=
∴PQ的垂直平分线为y-
=-
令y=0,得x=
+c,
∴M
,∴|F2M|=
由|MF2|=|F1F2|得
=2c,
即3a2=2c2,∴e2=
,∴e=
[答案] B
若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为α,且
<α<
”,求双曲线的离心率的取值范围.
解:
根据题意知1<
<
即1<
.所以
<e<2.
即离心率的取值范围为(
,2).
1.已知渐近线方程y=mx,求离心率时,若焦点位置不确定时,m=
(m>0)或m=
,故离心率有两种可能.
2.解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形结合思想的应用.
2.
(1)(2012·
福建高考)已知双曲线
=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
B.
选C 由题意知c=3,故a2+5=9,解得a=2,故该双曲线的离心率e=
大同模拟)已知双曲线
=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±
xB.y=±
C.y=±
xD.y=±
选B 设点P(m,n),依题意得,点F(2,0),由点P在抛物线y2=8x上,且|PF|=5得
由此解得m=3,n2=24.于是有
由此解得a2=1,b2=3,该双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
直线与双曲线的位置关系
[例3] (2012·
南昌模拟)
已知双曲线
=1(b>
0),O为坐标原点,离心率e=2,点M(
)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点,且
·
=0.求
的值.
[自主解答]
(1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2,
双曲线方程为
=1,即3x2-y2=3a2.
∵点M(
)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4.
∴所求双曲线的方程为
=1.
(2)设直线OP的方程为y=kx(k≠0),联立
=1,得
∴|OP|2=x2+y2=
则OQ的方程为y=-
同理有|OQ|2=
∴
1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程.利用根与系数的关系,整体代入.
2.与中点有关的问题常用点差法.
[注意] 根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系.
3.(2012·
长春模拟)F1,F2分别为双曲线
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,满足|
|=3|
|,则此双曲线的渐近线方程为________________.
由双曲线的性质可得|
|=b,则|
|=3b.在△MF1O中,|
|=a,|
|=c,cos∠F1OM=-
,由余弦定理可知
,又c2=a2+b2,所以a2=2b2,即
,故此双曲线的渐近线方程为y=±
1.(2013·
唐山模拟)已知双曲线的渐近线为y=±
x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双曲线方程为( )
=1 B.
选A 由题意可设双曲线方程为
=1(a>0,b>0),由已知条件可得
即
解得
故双曲线方程为
2.若双曲线过点(m,n)(m>n>0),且渐近线方程为y=±
x,则双曲线的焦点( )
A.在x轴上B.在y轴上
C.在x轴或y轴上D.无法判断是否在坐标轴上
选A ∵m>n>0,∴点(m,n)在第一象限且在直线y=x的下方,故焦点在x轴上.
华南师大附中模拟)已知m是两个正数2,8的等比中项,则圆锥曲线x2+
=1的离心率为( )
或
B.
D.
选D ∵m2=16,∴m=±
4,故该曲线为椭圆或双曲线.当m=4时,e=
.当m=-4时,e=
4.(2012·
浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是