上半连续和下半连续教案.docx
《上半连续和下半连续教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上半连续和下半连续教案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
上半连续和下半连续教案
函数的上、下半连续性
一、上、下半连续性的定义
设函数fx在集合E上有定义，X。
E为E的一个聚点。
fx在X。
处连续，用语言描述，即：
0,0,当xE,xXo时，有
fx0fxfx0A
若将此条件减弱，在不等式A中，只使用其中的一个不等式,
那么就得到半连续。
定义设fx在xo及其附近有定义，所谓fx在xo处上半连续,是指：
0,0,当xE,xXo时，恒有fxfxo。
fx在Xo处下半连续，是指：
o,0,当xE,xXo时,
恒有fXfXo。
推论fX在Xo及其附近有定义，则fX在Xo处连续的充要条件
是，fX在Xo处既上半连续又下半连续。
1在有理点处上半连续，但不下半连续。
2在无理点的情况恰恰相反。
例2考虑函数fxxDx,xR。
1当x0时，跟Dx的结论一样，
2当x0时，跟Dx的结论相反，
3当x0时，既上半连续又下半连续，因而在x0处连续。
4
例3Riemann函数
1在无理点处既上半连续又下半连续。
2在有理点处上半连续，但不下半连续。
二、上、下半连续性的等价描述
X°XnX0
limfxmaxlimfxnxnE,xn
Xxn
血fxminlimfxnxnE,xnx0xnx0
XX）n
直接可得。
31（用反证法）
设fx在Xo处不上半连续，则
当且仅当fx集合E中处处上（下）半连续时称fx在E中上
（下）半连续。
定理2设E为闭集，fx在E上有定义，则fx在E中上半连续的充要条件是：
c,，集合FcxE:
fxc为闭集。
证明必要性为了证明Fc为闭集，即要证明xnFc,xnx°，必有x°Fc，此时xnE，而E为闭集，所以x°E。
要证x°Fc，只要证fX°c。
事实上，由xnFc知fXncn1,2,，从而有limfXnc。
因fx在上半连续，根据定理1有
fx°limfxlimfxnc
n
充分性（反证法）
若fx不在E中上半连续，则至少存在一点X°E，fx在x°不上
半连续，即
°°,
11/
n",XnE,XnX°-，但fXnfX°°。
nn
取数C,使fx°
°cfx°，于是根据Fc的定义
xnFc,x°Fc
但XnX°（当n
），F为闭集，应有x°Fc矛盾，证毕。
注
（1）上半连续与下半连续是对偶的概念。
一有什么结论，另
一也有相应的结论。
定理2的对偶结论留给学生做为习题。
（2）定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用语言，只用了闭集的概念。
这为半连续推广到一般拓扑空间，作了准备。
三、上、下半连续的性质
1、运算性质
定理3
（1）若在a,b，函数fx,gx上、下半连续，则它们的和fxgx亦在a,b中上、下半连续。
（2）若在a,b上fx上下半连续，贝J-fx在a,b中为下、上半连续。
（3）若在a,b上，函数fx及gx0，且上半连续（或fx及gx0，且下半连续）则它们的积fxgx在a,b上为上半连续。
若fx0上、下半连续，gx0为下（上）半连续，则fxgx下
（上）半连续。
（4）若在a,b上，fx0上（下）半连续，则一1一在a,b上为
fx
下（上）半连续。
这里只对
（1）中上半连续的情况进行证明，
证法1（利用半连续的定义）
因fx,gx上半连续，Xoa,b,0,0,当xx°,xa,b时有
fxfxg-,gxgx°-
所以fxgxfx0gx0
故fxgx在a,b上上半连续。
证法2（利用上半连续的等价描述）
gx在a,b中上半连续。
2、保号性
上半连续函数有局部保负性（即：
若fx在x处上半连续，
fx0，贝S0，使得xXo，x时有fXo）。
同样，下半
连续函数有局部保正性，这些由定义直接可得。
3、无介值性
半连续函数，介值定理不成立。
例如：
4、关于fx的界
定理4有界闭区间上的上半连续函数，必有上界，且达到上确
界，具体来说，若fx在a,b上上半连续，则
（1）fx在a,b上有上界（MO使fxM,xa,b）。
（2）fx在a,b上达到上确界（即Xoa,b使得fx°supfx）
xa,b
证明先证明
（1）（反证法）
所以limfx。
XXo
下证
（2）
即:
证法2利用有限覆盖定理进行证明。
思考题：
对于下半连续相应的定理如叙述？
若把闭区间改为任意的闭集合，结论是否正确。
事实上，上面的定理4可做如下推广。
定理：
假定X为紧集，f是上半连续的，则f在X上必有最大值证明：
因f是上半连续的实值函数
故X1X，f（x）必在为的某一邻域N（xj有上界，
故X1X，f（x）必在X1的某一邻域N（xj有上确界，
X1
设f（x）在X1的邻域N（xj的上确界为M
构造邻域簇
{N（xj,i1,2,3....},
XN（Xi）
i
k
XN（Xi）
i1
显然
而由条件X为紧集，
故存在自然数k使得:
用Mx分别表示f（x）在N（Xi）中的上确界，其中i1,2,3,...k
令MmaXMx「Mx2……Mxk}
显然M必为f（x）在X上的最大值
定理5若函数fx在a,b半连续，则必存在闭区间，a,b，
使fx在，上保持有界。
证：
以下半连续为例进行证明
设fx在a,b下半连续，来证,a,b使得fx在,上有
界，用反证法，设，a,b，fx总在，上无上界，于是：
1
1、x,a,b使得f为1，因fx下半连续，故10（不妨令12），
使得1X11,为1a,b且x1有fX1
3、如此继续下去，我们得到一串闭区间:
区间长丨J2n0（当n时）且在每个区间n上，恒有
4、根据区间套定理nn1,2。
因此f，矛盾
我们已经知道，连续函数单调序列的极限不一定是连续的。
例如
fnxXn在0,1上连续，当n增加时单调下降有极限
1,x1
0,0x1
但极限函数fx在0,1上不连续。
定理6（保半连续性）设函数fnx在E上有定义，且上半连续
n1,2,fnxfx，即:
f1xf2xfnxfn1x
且limfnxfx。
则fx在E上上半连续。
n
证明（我们的任务在于证明：
X。
E,
时有fxfX。
）
1、xoE，因fxolimfnXo，所以n
fnxofxo
0,o，当xE,xxo
o，N0,当nN时有
2、将n固定，因fnx在E上上半连续，所以
有fnxfxo。
o，当xE,xxo时
3、又fnxfx，fxfnx，故更有
fxfxo
这就证明了fx在E上上半连续
下面，我们提出相反的问题：
是否半连续函数一定可以作为连续函数的单调极限呢？
回答是肯定的。
定理7设fx在a,b上有定义，且上半连续，则存在一个递减
的连续函数序列
f2x
使得limfnxfx（即:
上半连续函数，总可用连续函数从上逼近）
证明
首先构造函数序列fnX，然后证明fnx连续，，有下界，从而
limfnx存在记为gx，然后证明gxfx。
n
1、构造（fnx）
对于固定的x与n，函数nxx是x的连续函数，所以上半连续，已知
fx是上半连续的，fxnxx是x的上半连续函数（定理3），从而在a,b
上有上界，且达到上确界（定理4），即x*a,b使得
fxnxxmaxfxnxx
（1）
xa,b
（注意x*实际与n,x有关，x*Xn*x）
今定义fnxmaxfxnxx
（2）
xa,b
下面证明fn满足各项要求。
2（证明fnx连续）由
（1）、
（2）式知
fnxfxnx*xfxnxx,xa,b（3）
fnx
从而
*
*
fxnx
n
xnxx
n
xx
fnxn
x
x
fxnxnxnxx
所以fnxfnxnxx
fnxfnxnxx
此式表明fnx在a,b上连续3、（证明fn）
设mn，贝U
fnXfXmXnXmXX（由式3）
fx；xmx；xx（因mn）fmX
所以fno
4、（fnx序列有下界）
对任一固定的x，在（3）式中令xx，可知fnxfx（对一切nN成立），故xa,b，fnx有下界。
5、由3、4知;gxlimfnx存在且fx。
6、（证明gxfx）因fx上半连续，0,0,当xa,b，
XX时有
fXfX⑷
又因为fx上半连续，所以在a,b上上有界，因此对固定的X，当n时有
XnX。
这是因为fnXfXnXnXnXX
若xnX不收敛于X，则X的邻域X1，X，使得X；X在此邻域之
M0，使得fxM（当x
a,b时），因此
fnkX
*
fXnkX
k
n
总xX
Mnk
x；kXX
Mnk1
即:
这与fnXgX（当n时矛盾
由此可知NO，当nN时，xx：
x，于是由（4）式
*
fxnxfx
但fnxfx：
xnx：
XXfXnX
从而更有fnxfx
令n取极限，得gxfx
由0的任意性，知gxfx
再由5的结论可得gxfx。
升级会员 