f（a）g（a）>f（x）g（x）>f（b）g（b）．故选C.
答案：
C
10．函数y＝－2sinx的图象大致是（ ）
A B
C D
解析：
y′＝－2cosx，令y′＝0，解得cosx＝，根据三角函数的知识可知此方程有无穷多个解，即函数y＝－2sinx有无穷多个极值点，又函数y＝－2sinx是奇函数，所以图象关于坐标原点对称，故选C.
答案：
C
11．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是（ ）
A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7
C．a＜0或a＞21D．a＝0或a＝21
解析：
f′（x）＝3x2＋2ax＋7a，令f′（x）＝0，即3x2＋2ax＋7a＝0，对于此方程，Δ＝4a2－84a，当Δ≤0，即0≤a≤21时，f′（x）≥0恒成立，函数不存在极值点．
答案：
A
12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（ ）
A．2B．3C．6D．9
解析：
函数的导数为f′（x）＝12x2－2ax－2b，由函数f（x）在x＝1处有极值，可知函数f′（x）在x＝1处的导数值为0，即12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤＝
＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．
答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．若曲线y＝xa＋1（a∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则a＝________．
解析：
由题意，知y′＝axa－1，故在点（1，2）处的切线的斜率a，又因为切线过坐标原点，所以a＝＝2.
答案：
2
14．函数f（x）＝（x≥2）的最大值为________．
解析：
先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．
f′（x）＝＝－，
当x≥2时，f′（x）<0，所以f（x）在[2，＋∞）上是减函数，
故f（x）max＝f
（2）＝＝2.
答案：
2
15．当x∈[－1，2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：
记f（x）＝x3－x2－x，
所以f′（x）＝3x2－2x－1.
令f′（x）＝0，得x＝－或x＝1.
又因为f＝，f
（2）＝2，f（－1）＝－1，f
（1）＝－1，
所以当x∈[－1，2]时，（f（x））max＝2，所以m＞2.
答案：
（2，＋∞）
16．已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e－x－1－x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是________．
解析：
设x>0，则－x<0，f（－x）＝ex－1＋x.
因为f（x）为偶函数，所以f（－x）＝f（x），
所以f（x）＝ex－1＋x.
因为当x>0时，f′（x）＝ex－1＋1，
所以f′
（1）＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
所以曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为y－2＝2（x－1），
即2x－y＝0.
答案：
2x－y＝0
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝x3＋x－16.
（1）求曲线y＝f（x）在点（2，－6）处的切线的方程；
（2）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：
（1）因为f′（x）＝（x3＋x－16）′＝3x2＋1，
所以f（x）在点（2，－6）处的切线的斜率为k＝f′
（2）＝13.
所以切线的方程为y＝13（x－2）＋（－6），
即y＝13x－32.
（2）因为切线与直线y＝－＋3垂直，
所以切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为（x0，y0），
则f′（x0）＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1，
所以或
即切点坐标为（1，－14）或（－1，－18）．
切线方程为y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
18．（本小题满分12分）设函数y＝f（x）＝4x3＋ax2＋bx＋5在x＝与x＝－1处有极值．
（1）写出函数的解析式；
（2）指出函数的单调区间；
（3）求f（x）在[－1，2]上的最值．
解：
（1）y′＝12x2＋2ax＋b，由题设知当x＝与x＝－1时函数有极值，则x＝与x＝－1满足y′＝0，
即解得
所以y＝4x3－3x2－18x＋5.
（2）y′＝12x2－6x－18＝6（x＋1）（2x－3），列表如下：
x
（－∞，
－1）
－1
y′
＋
0
－
0
＋
y
↗
y极大值
＝16
↘
y极小
值＝－
↗
由上表可知（－∞，－1）和（，＋∞）为函数的单调递增区间，为函数的单调递减区间．
（3）因为f（－1）＝16，f＝－，f
（2）＝－11，
所以f（x）在[－1，2]上最小值是－，最大值为16.
19．（本小题满分12分）有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P万元和Q万元，它们与投入资金x万元的关系有经验公式：
P＝，Q＝.现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？
能获得的最大利润是多少？
解：
设对乙种商品投资x万元，则甲种商品投资为（3－x）万元，总利润为y万元．
根据题意，得y＝＋（0≤x≤3），
y′＝－＋·.令y′＝0，解得x＝.
由实际意义知x＝即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3－x＝.
因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．
20．（本小题满分12分）若函数f（x）＝4x3－ax＋3在[－，]上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？
解：
f′（x）＝12x2－a，若f（x）在上为单调增函数，
则f′（x）≥0在上恒成立，
即12x2－a≥0在上恒成立．
所以a≤12x2在[－，]上恒成立，
所以a≤（12x2）min＝0.
当a＝0时，f′（x）＝12x2≥0恒成立[只有x＝0时f′（x）＝0]．
所以a＝0符合题意．
若f（x）在上为单调减函数，
则f′（x）≤0，在上恒成立，
即12x2－a≤0在上恒成立，
所以a≥12x2在上恒成立，
所以a≥（12x2）max＝3.
当a＝3时，f′（x）＝12x2－3＝3（4x2－1）≤0恒成立（且只有x＝±时f′（x）＝0.
因此，a的取值范围为a≤0或a≥3.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋lnx.
（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（2）求证：
在区间[1，＋∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）＝x3的图象的下方．
（1）解：
由f（x）＝x2＋lnx得f′（x）＝x＋，
因为当x∈[1，e]时，f′（x）>0，
所以函数f（x）在[1，e]上是增函数．
f（x）max＝f（e）＝e2＋1，
f（x）min＝f
（1）＝.
（2）证明：
设F（x）＝f（x）－g（x）＝x2＋lnx－x3，则F′（x）＝x＋－2x2＝.
因为x>1，所以F′（x）<0，
所以函数F（x）在（1，＋∞）上是减函数，又因为F
（1）＝－，故在[1，＋∞）上有F（x）<0，即f（x）22．（本小
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