12子空间与子空间的分解文档格式.docx

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和

上的子空间，依次称为

的零空间（核）和列空间（值域），零空间的维数称为零度

的零空间是齐次线性方程组

的全部解向量构成的

维线性空间

的一个子空间。

因为解空间的基就是齐次线性方程组的基础解系。

所以，

。

的左零空间和行空间

，

表示

的广义逆，满足

，则有

且

幂等。

所以

例3设

的

个向量，它们所有可能的线性组合所成的集合

的一个子空间，称为由

生成的子空间。

若记

，则

由子空间的定义可知，如果

的一个子空间包含向量

，那么就一定包含它们所有的线性组合。

也就是说

注：

容易证明

（1）

（2）

，特别若

可表示为

的线性组合，则

定理2设

的一个

维子空间，

的一个基，则这

个向量必定可扩充为

的基。

证明

若

，则定理已成立。

中必存在一个向量

不能由

线性表出，从而

线性无关。

否则继续上述步骤。

经过

次，则可得到

内

个线性无关的向量，使

二、子空间的分解

子空间作为子集，有子集的交（

），和（

）等运算，对它们有如下定理。

定理3设

是线性空间

的子空间，则有

与

的交集

的子空间，称为

的交空间。

的和

的和空间。

（1）由

可知

因而

是非空的.其次，如果

即

而且

因此

因此

.同样,由

知

.因此

的子空间.

（2）由定义

而且非空.

则有

.

由

因

是子空间,则

所以

即

子空间的交与和的概念可以推广到多个子空间的情形。

定理4（维数定理）设

的两个子空间，则有

+

=

（1）

设

基为

，由定理2知，它们可分别扩充为：

的基

则

下面证明

为线性无关组。

任取数

使

.

（2）

因为

从而有

即

的基,线性无关,故

.代入

（2）式,得

而

的基,于是

故

线性无关，dim

定理得证.

从

（1）式知，若

，则有dim（

）<

dim

+dim

这时

其表达式中

不是唯一的。

例如

，有

，即

这时

可有两种表达式

例4设

中的两个子空间是

求

及

的基和维数。

解

由于

线性无关，故

的一个基为

，其维数

=3。

由维数定理知

-

=2+2-3=1

根据

得到

从而

的一个基，其维数

=1。

三、直和子空间

子空间的和

的定义仅表明，其中的任一向量

但这种表示法不一定唯一。

定义8设

的两个子空间，如果

中每个向量

的分解式

是唯一的，则

称为

的直和，记为

定理5设

的两个子空间，则下面几条等价

是直和；

向量表示法唯一，即由

得

；

（3）

（4）

采用轮转方式证明这些命题。

按定义，

内任一向量表示法唯一，因而

的表示法当然唯一。

用反证法。

，于是

，这与零向量的表示是唯一的假设矛盾。

利用维数定理即得。

由维数定理知dim（

）=0,即

.对任一

如果

则有

于是

这说明

因而

表示法唯一。

定理证毕。

定理6设

的一个子空间，则必存在

的子空间

，使

证明：

设dim（

）=

且

的一个基，根据定理2它可扩充为

，令

，显然

就满足要求。

子空间的交、和及直和的概念可以推广到多个子空间的情形。

四、内积空间

前文中，我们对线性空间的讨论主要是围绕着向量之间的加法和数量乘法进行的。

与几何空间相比，向量的度量性质如长度、夹角等在实际应用中更重要。

因此，我们在一般线性空间中定义内积，导出内积空间的概念。

定义9设

是实数域

上的实线性空间。

如果对于任意的

，都有一个实数

与之对应，且满足

;

（3）

（4）

当且仅当

时

则称

的内积。

定义了内积的实线性空间

称为内积空间，又称欧几里得空间或Euclid空间（简称为欧氏空间）。

例如，在

中，定义内积

成为内积空间。

在内积空间

中，如果

，则称

正交，记为

设欧氏空间

中的基为

，欧氏空间中有两个向量

，下面我们来计算

记

（1）方阵

称为向量组

的Gram矩阵，或度量矩阵。

线性无关的充要条件是

对称正定。

因为方阵

（4）若

则

表示长度的平方；

时,则

表示面积的平方；

呢？

（5）若

是规范正交基，则

，内积

即向量内积等于坐标的内积，计算简单，所以内积空间的基常采用规范正交基。

另外，在规范正交基

下向量

的坐标

的计算简单不需要解线性方程组就能得到

设

是内积空间

显然

也是一个内积空间。

的一个向量

的每一个向量正交，则称

中的两个子空间

，如果任取

，都有

是互相正交的。

记为

定义10设

中的子空间，记

也是线性空间，称为

的正交补空间。

定理7设

矩阵。

记

为满足条件

且具有最大秩的矩阵，则

反之，

推论：

只证第一式,因为把第一式中的

看成

即得第二式.

证毕.

对于一个线性空间

，如果存在

个子空间

，使得对任意

，可唯一地分解为

则称

，若进一步假设，对任意的

的正交直和，记为

，特别，

，对于

中子空间

都成立。

则

若进一步假设

则容易证明

容易证明对于内积空间

有下面的性质

（2）

.

定理8对任意矩阵

，恒有

故只需证

事实上,对任给

有

右乘

得

故

.证毕.

定理9设

的子空间;

（2）

第一结论的证明是简单的，现证

（2）。

不妨设

则存在

阶可逆矩阵

，使得

于是

其中

，其中

推论设

证明

因

=

又因为

，依定理9及假设条件，有

但

证毕。