中考数学复习题型十《圆》典型考题解析.docx

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中考数学复习题型十《圆》典型考题解析

与圆有关的考题解析

一、证明题

典例精讲

分为三大块：

1圆的基本性质，

2与圆有关的位置关系，

3与圆有关的计算

（一）圆的基本性质

一、选择题

例题精讲

1.（龙东中考）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）

A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°

【答案】C

【解析】当点P位于AB的中点时，如图，

由垂径定理可得OP⊥AB，此时OP最短，∵1≤OP≤2，∴OP＝1；

当点P位于点A或点B时，OP＝OA＝OB＝2，

∴sin∠OAB＝sin∠OBA＝，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠AEB＝∠AOB＝60°，

∵∠E＋∠F＝180°，

∴∠F＝120°，

即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．

故选C．

2.（河北中考）如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（）

A．△ABEB．△ACFC．△ABDD．△ADE

【答案】B

【解析】因为A，B，E三点在⊙O上，所以O是△ABE的外接圆圆心；由于F不在⊙O上，所以O不是△ACF的外接圆的圆心；因为A，B，D三点在⊙O上，所以O是△ABD的外接圆圆心；因为A，D，E三点在⊙O上，所以O是△ADE的外接圆圆心．故选B．

针对性训练

1.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

2.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（）

A．45°B．30°C．75°D．60°

3.如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD=52°，则∠BCD等于（）

A.32°B.38°C.52°D.66°

4.点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（）.

A.40°B.100°C.40°或140°D.40°或100°

5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）．

A．80°B．100°C．60°D．40°

【答案】1-5DDBCA

二、填空题

例题精讲

1.（河北中考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=_______________.

【答案】

【解析】连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE==3，

∴,∴BE=.故答案为.

2.（娄底中考）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度.

【答案】50

【解析】由圆周角定理知∠B=∠ACD=40°，又由AB为⊙O的直径，知∠ADB=90°，根据直角三角形两锐角互余，求得∠BAD=90°－40°=50°，故答案为50.

针对性训练

1.如图，在⊙O中，∠OAB＝45°，圆心O到弦AB的距离OE＝2cm,则弦AB的长为＿＿＿＿＿cm．

2.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为________．

3.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点在半圆上，点，的读数分别为100°，150°，则的大小为___________度.[

4.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD＝°．

【答案】1—4，分别为4，4，25，130，

三、解答题

例题精讲

1.（河南中考）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD，PO.

（1）求证：

△CDP≌△POB；

（2）填空：

①若AB=4，则四边形AOPD的最大面积为；

②连接OD，当∠PBA的度数为时，四边形BPDO为菱形.

证明：

（1）∵O，P，D分别为AB，BC，AC的中点，

∴DP∥OB，且DP=OB，CD∥OP，且CD=OP.

∴∠CPD=∠PBO.

在△CDP和△POB中，

，所以△CDP≌△POB（SAS）.

解：

（2）①4②60°.

提示：

①∵D，P，O分别为AC，BC，AB的中点，

∴DP∥AO，PO∥AD，∴四边形AOPD为平行四边形，

如图，过点P作PG⊥AB，垂足为G，，当PG取最大值时，平行四边形AOPD为正方形，

∴=4；

②若四边形BPDO为菱形，则BP=OB=2，

∵OP=OB，∴△OPB为等边三角形，∴当∠PBA=60°时，四边形BPDO为菱形.

2.（2016咸宁中考）定义：

数学活动课上，乐老师给出如下定义：

有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．

理解：

（1）如图1，已知A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC＝BD．求证：

四边形ABCD是对等四边形；

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB＝90°，BC＝11，tan∠PBC＝，点A在BP边上，且AB＝13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

解：

（1）如图1所示（画2个即可，答案不唯一）．

证明：

（2）如图2，连接AC，BD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°．

在Rt△ADB和Rt△ACB中，，

∴Rt△ADB≌Rt△BCA．

∴AD＝BC．

又∵AB是⊙O的直径，

∴AB≠CD．

∴四边形ABCD是对等四边形．

解：

（3）如图3，点D的位置如图所示.

若CD＝AB，此时点D在D1的位置，CD1＝AB＝13；

②若AD＝BC＝11，此时点D在D2，D3的位置，AD2＝AD3＝BC＝11，

过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F，设BE＝x，

∵tan∠PBC＝，

∴AE＝．

在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，即，

解得x1＝5，x2=－5（舍去）．

∴BE＝5，AE＝12．

∴CE＝BC－BE＝6．

由四边形AECF为矩形，可得AF＝CE＝6，CF＝AE＝12，

在Rt△AFD2中，，

∴，．

综上所述，CD的长度为13，或．

针对性训练

1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．

（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）

（2）若的中点C到弦AB的距离为m，AB=80m，求所在圆的半径．（4分）

2.如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E．F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点．

（1）求∠FDE的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；

（3）当G为线段DC的中点时，

①求证：

DF=FI；

②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

答案

1.解：

（1）如图1，

图1

点O为所求.

（2）连接OA，AB，OC交AB于D，如图2，

∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=AB=40，

设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OC−CD=r−20，

在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，

∴r2=（r−20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m．

图2

2.解：

（1）∵EF为⊙O的直径，

∴∠FDE=90°．

（2）四边形FACD为平行四边形．

理由如下：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AC⊥BD，

∴∠AEB=90°．

又∵∠FDE=90°，∴AC∥FD．

∴四边形FACD为平行四边形．

（3）①如图，连接GE．

∵在Rt△DEC中，G为CD的中点，

∴EG=DG，∴=，∴∠1=∠2．

又∵EF为⊙O的直径，∴∠FGE=90°，∴FG⊥EG．

∵G为DC的中点，E为AC的中点，

∴GE为△DAC的中位线，∴EG∥AD．

∴FG⊥AD，∴∠FHD=∠FHI=90°．

由△DHF≌△IHF，可得FD=FI．

②∵菱形ABCD，∴AE=CE=m，BE=DE=n，

∵四边形FACD为平行四边形，

∴FD=AC=2m=FI．

∵FD∥AC，∴∠3=∠8．

又∵∠3=∠4=∠7，∴∠7=∠8．

∴EI=EA=m．

在Rt△FDE中，FE²=FD²+DE²，

∴（3m）²=（2m）²+n²，解得n=m．

∴=π=Ｎm²，=2m2n=2mn=2m²．

∴：

=Ｎm²：

2m²=．