若对在上常义可积则其积分定义上的一个函数记作docWord文档下载推荐.docx
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而在这个定理中，只要丨心1<
》，那么，对一切y恒成立
于是
\f（xQ+Ax,y）-f（xQ9y）\<
8
l/（x0+Ar）-/（^0）l<
「/（兀（）+Ar,y）-/（x（）,y）〃.K£
（d—c）
山兀o的任意性，IMeC［a.b］得证.即/（x）在［a,创上连续.
由这个定理得结论也就有
=flimf（x,y）dy=f/（x0,y）^）\Vx0e[a,h]
J（'
.V->
.VnJ（'
lim（f（x,y）dy
x->
xQJc
即在定理得条件下极限运算与积分运算可交换.也即在该定理的条件下极限运算可以通过积分号.上面定理说明被积函数的一致收敛性是积分运算与极限运算可交换的充分条件.
类似地，如果feC（D）,记
丿0）=（fdx,ye[c.d]
则JgC［c,J］,证明类似于定理14.1.1
定理14.2（可导性与求导求积的可换序性）设/（兀,刃及.fv（x,y）都在矩形［o,b,c,d］
上连续，则
证明对于［c,d］上任何一点y,设$+△），也属于［c,d］,那么
丿（y+Ay）-丿（y）=『/（兀，丁+人），）一/（兀，丁）必△y山Ay
利用拉格朗日定理
=fAs，y+知皿（0<
0<
1）
令△『一>
（）,再利用定理14.1的结果，得
定理得证.
当/（x,y）是£
=［。
如［诃上的连续函数时，由定理14.1可得
/⑴=f/（x,y）dy,
/（V）=^f（x,y）dx
分别在［c,d］及［a,b］上连续，因此/（x）在［a,b］上可积,丿（刃在［c,d］上可积,记为:
f^y^dy
『丿（y）dy=£
dy£
/（兀,y）d兀
它们相等吗？
换言之，两个枳分运算在什么条件下可交换?
分析：
若两个积分运算可交换，则V虫山,创，.fwC（［aJx［c,dD，也应有
［dxffdy=£
fdx
从ifti它们对t的导数应相等.而上式左端的导数是
右端的导数是
jdy鲁］fdx\=ff（t,y）dy
它们的确相等.于是我们可以证明下面定理：
定理14.3（可积性与求积的可换序性）若f（x,y）在矩形［a,b;
c,d］上连续，那么
例14・1求心广_%
A）Inx
（a>
0,b>
0）.
解我们知道
所以
交换积分顺序得
订d）』5订古gin
为了更严格地给出定理的论证，我们考虑积分限中含有参变量的积分.如
F（沪皿
定理14.4（积分上下限函数的连续性）若f（x,y）在矩形S"
;
c,d］上连续，藏a（y）及级刃都在［c,d］上连续,并且
a<
a（y）<
b,a<
b（y）<
b（c<
y<
d）
在［c,d］上连续.
证明我们考虑
y+Ay）
F（y+Ay）-F（y）=\/O,y+Z\y）dx-[f（xyy）dx
J“（y+Ay）Ja（y）
p/（v）
=「、/（x，y+3）dx
Ja（y+Ay）
+f[f（x,y+Ay）-f（x.y）]cl;
儿（y）
申v+Ay）
+L/（x,y+AyXx
当AyTO时右端第一个和第三个积分趋于零，而第二个积分正象定理14.1的证明中那样,也趋于零，于是定理得证.
定理14.5若函数/（兀,刃及人（兀刃都在［d,b;
c,d］上连续，同时在［c,d］上/（），）及夕（刃皆存在,并且
a（y）<
b,a<
b（c<
d）则
F\y）=^-C）f（x,y）dx
dyJd（〉）
4心）
=f人（兀,y）d-^flb（y）,y]b\y）-f[a{y\y\a\y）Jd（y）?
证明考虑函数F（y）在[c,d]上任何一点儿处得导数，山于
F（y）=f（x,y）dx-^（y）f（x,y）dx
=耳（刃+笃（刃一耳（刃
现在分别考虑好（y）（i=1,2,3）在点y（）处得导数.由定理14.2可得
山于F2（yo）=O,所以
-oy-儿〉Ty°
y-凡
=lim匸旦心y->
y0y—yQ
应川积分中值定理
恥沪1曲如上辿J（3）
v°
y一儿
这里歹在b（y）和方（儿）之间.
再注意到/（x,刃的连续性及b（y）的口J微性，于是得到
◎仇）=夕仇）/9仇）,儿］
同样nJ以证明：
坊Go）=aGoXA方（儿），％］
于是定理得证.
例2设F（y）=f
沁％,求F3
解应用定理14・5有：
、「厂f小siny'
siny
F（y）=cosyxdx+2y——1
Jv>
ry
sinyx,2siny3siny23siny'
-2siny2
1I-:
221
例3求/（&
）=[ln（l+&
cosJt）dx,其中l&
lvl.
解利用积分号下求导数來求这个积分•对丨&
1<
1中任一定值&
一定存在b,使
\0\<
b<
\.这时f（x,0）和fo（x,O）是0<
X<
7T,-b<
e<
bk的连续函数，利用定理
14.1.2可得
1V1X
1+&
COSX丿
7i1「cix
00」）l+0cos兀
作代换t=tg-f求得一个原函数
rdxr2/（1+r2）dt_rdx
h+0cosx—h+&
（l—尸）/（l+》2）J（l+0）+（l_0）/2
7C（1
—=71—
2\0
上式对于一1V〃V1屮一切&
是成立的.再对&
积分，口J得
1（0）=7iIn<
9+In
1+Jl-少、
+C"
n（l+Jl-&
J+C
现在我们来确定常数C.|±
11⑹的定义可知/（0）=0，于是可得
C=-7tln2=^ln—
2
最后的
/（&
）=加1±
2旦
例144已知P阶Bessel函数
Jk（x）=丄「cos伙&
一xsin&
）J&
71山
试证:
x2Jku+xJk^+（x2-k2）Jk=0.
证明rh定理14.2可得
J「=—[sin（A:
^-xsin0）sinOd0,
71力
Ir/ra
JkH=[cos（Z:
^-xsin0）sinOd0.
71闪
注意到:
-x2sin2&
+（兀$一/）=兀2cos?
&
一疋=（xcos&
+£
）（Jtcos&
-£
）
-^（kO-xsinO）=k-xcos0,
x2Jkv+（x2-k2）Jk
=丄fcos（R&
-xsin&
）（xcos&
+R）（xcos6-k）d0
=一-sin（k0-xsin0\xcos0+k）
71
+—[sin（k0-xsin0）{-xsin0）d0
1AT
移项即得所要证的结果.
下面给出定理14.3的证明.
证明记
f（x,y）dx
A（«
）=fdx（/（x,）Wy
（c<
u<
d）
首先证明人\u）=J2\u）.
对于变动上限的积分（dyf/（兀y）厶二jp（y）dy,因为被积函数丿（y）连续，所以
关于上限“的导数为
J]'
（u）=J（u）=ff（x,u）dx
对于另一个积分
dx£
/（x,y）dy=£
F（x,u）dx
这里
Fg）二£
/（x,y）dy
应用定理14.2可得
J2W=fF“\x,u）dx=£
/（x,u）dx
于是证明了J,\u）=J2\u）.所以有
Ji（i/）=J2（h）+C（C为一常数）
现在来确定常数C.令it=c，得
J,（c）=O,J2（c）=O
于是C=o,所以
丿［（u）=J2（u）（c<
u<
再令u=d,定理得证.
含参变量的枳分在微分方程定解问题中常被引用.在此我们举两个特例.
例14.5设子gC（（/（0,〃）），则微分方程
[/w）=/（x）
》，（0）=卩（0）=・・・=严（0）=0
在中有解
（x-x）n}f（x）
注：
这是一个高阶常微分方程解的Cauchy公式.证应用定理14.2,可得
1
⑺―1）!
（h-2）!
直到
严）⑴十⑴力，
g（,l]M=f（x）.
显然，g（o）=g（o）=・・・=g（i（O）=O,结论得证.
例14.6（二阶方程的Green函数）设
G（x,刃=
y（l-x）,y<
x,x（l—y）,y>
x,
g（x）=^G（x,y）f（y）dy
是微分方程
d2ll=fM
dx2
w（0）=w（l）=0
得解.
证按G的定义域分段得
gd）=（y（i—Q/*（y）d.y+
由此可得g（O）=g（l）=O.根据定理14.2,
g'
M=-[yf^dy+x（\-x）f（x）
"
（刃心-（"
（刃
=-[w（y）dy+]/（y）dy,
g\x）=-f（x）.
习题
1.设F（y）=JQ'
dx，计算F\y）.
dx
2.求limi
gt°
力1+%cosax
3.设
F（y）=（斗史血｝?
0.
求F'
（y）.
4.设F（y）
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