若对在上常义可积则其积分定义上的一个函数记作docWord文档下载推荐.docx

1、而在这个定理中，只要丨心1，那么，对一切y恒成立于是f（xQ + Ax, y） -f（xQ9y） 8l/（x0 + Ar）-/（0）l.Vn J（lim （f（x,y）dyx-xQ Jc即在定理得条件下极限运算与积分运算可交换.也即在该定理的条件下极限运算可以通过 积分号.上面定理说明被积函数的一致收敛性是积分运算与极限运算可交换的充分条件.类似地，如果f e C（D）,记丿 0）= （ fdx, ye c.d则JgCc,J,证明类似于定理14.1.1定理14.2（可导性与求导求积的可换序性）设/（兀,刃及.fv（x,y）都在矩形o,b,c,d上连续，则证明对于c,d上任何一点y ,设$ +

2、），也属于c,d,那么丿（y + Ay）-丿（y）=/（兀，丁 + 人），）一/（兀，丁）必 y 山 Ay利用拉格朗日定理= f A s，y+知皿（0 0 （）,再利用定理14. 1的结果，得定理得证.当/（x,y）是 =。如诃上的连续函数时，由定理14.1可得/=f/（x,y）dy,/（V）= f（x,y）dx分别在c,d及a,b上连续，因此/（x）在a,b上可积,丿（刃在c,d上可积,记为:fydy丿（y）dy = dy /（兀,y）d兀它们相等吗？换言之，两个枳分运算在什么条件下可交换?分析：若两个积分运算可交换，则V虫山,创，.fwC（aJxc,dD，也应有dxf fdy= fdx从i

3、fti它们对t的导数应相等.而上式左端的导数是右端的导数是jdy 鲁fdx= f f（t, y）dy它们的确相等.于是我们可以证明下面定理：定理14.3 （可积性与求积的可换序性）若f（x,y）在矩形a,b;c,d上连续，那么例141求心广_%A） Inx（a 0,b 0）.解我们知道所以交换积分顺序得订d）5订古gin为了更严格地给出定理的论证，我们考虑积分限中含有参变量的积分.如F（沪皿定理14.4（积分上下限函数的连续性）若f（x,y）在矩形S;c,d上连续，藏 a（y） 及级刃都在c,d上连续,并且a a（y）b,a b（y） b （c y d）在c,d上连续.证明我们考虑y+Ay）F

4、（y + Ay）-F（y）= /O,y + Zy）dx- f（xyy）dxJ“（y+Ay） Ja（y）p/（ v）=、/（x，y+3）dxJa（y+Ay）+ f f（x,y + Ay）-f（x.y）cl ;儿（y）申 v+Ay）+ L /（x,y + AyXx当Ay TO时右端第一个和第三个积分趋于零，而第二个积分正象定理14. 1的证明中那样, 也趋于零，于是定理得证.定理14.5若函数/（兀,刃及人（兀刃都在d,b;c,d上连续，同时在c,d上/（），）及 夕（刃皆存在,并且 a（y） b,a b （c y0 y yQ应川积分中值定理恥沪1曲如上辿J（3）v y 一儿这里歹在b（y）和方（

5、儿）之间.再注意到/（x,刃的连续性及b（y）的口J微性，于是得到仇）=夕仇）/9仇）,儿同样nJ以证明：坊 Go）= aGoXA方（儿），于是定理得证.例 2 设 F（y）=f沁,求F3解应用定理145有：、 厂 f 小 sin y , sin yF （y） = cos yxdx + 2y 1 Jv r ysin yx , 2 sin y3 sin y2 3 sin y - 2 sin y2 1 I - : 2 2 1 例 3 求 /（&）= ln（l + &cos Jt）dx ,其中 l&lvl.解 利用积分号下求导数來求这个积分对丨&11中任一定值&, 一定存在b,使0b.这时f（x,0

6、）和fo（x,O）是0X7T , -beb k的连续函数，利用定理14.1.2可得1 V1X1 + &COSX 丿7i 1 cix0 0）l + 0cos兀作代换t = tg-f求得一个原函数r dx r 2/（1+ r2） dt_ r dxh + 0cosx h + &（l尸）/（l +2）J（l + 0） + （l_0）/27C （ 1 = 71 2 0上式对于一1 V V 1屮一切&是成立的. 再对&积分，口J得1（0） = 7i In 9 +In1+Jl-少、+ Cn（l +Jl-&J + C现在我们来确定常数C. |11的定义可知/（0） = 0，于是可得C = -7t ln2 =

7、ln 2最后的/（&）=加12旦例144已知P阶Bessel函数Jk（x）=丄cos伙&一xsin&）J&,71山试证:x2Jk u+xJk +（x2-k2）Jk =0.证明rh定理14.2可得J= sin（A: - x sin 0） sin Od0,71力I r/r aJk H = cos（Z: - x sin 0） sinOd0.71闪注意到:-x2 sin2 & +（兀$ 一/）=兀2 cos? & 一疋=（xcos& + ）（Jtcos&-）-（kO-xsinO） = k-xcos 0,x2Jk v+（x2-k2）Jk=丄 f cos（R&-xsin &）（xcos & + R）（xc

8、os6-k）d0=一-sin（k0- x sin 0x cos 0 + k）71+ sin（k0 - xsin 0）-xsin 0）d01 AT移项即得所要证的结果.下面给出定理14. 3的证明.证明记f（x,y）dxA（）= f dx（/（x,）Wy（cu d）首先证明人u） = J2 u）.对于变动上限的积分（dyf/（兀y）厶二jp（y）dy ,因为被积函数丿（y）连续，所以关于上限“的导数为J （u） = J（u） = f f（x,u）dx对于另一个积分 dx /（x, y）dy = F（x,u）dx这里Fg）二 /（x, y）dy应用定理14.2可得J2 W = f F“ x,u）d

9、x = /（x,u）dx于是证明了 J, u） = J2 u）.所以有Ji（i/） = J2（h） + C （C 为一常数）现在来确定常数C.令it = c，得J,（c） = O, J2（c） = O于是C = o,所以丿（u） = J2（u） （cu 再令u = d ,定理得证.含参变量的枳分在微分方程定解问题中常被引用.在此我们举两个特例.例14.5设子g C（/（0,），则微分方程/w）=/（x），（0）=卩（0）=严（0） = 0在中有解（x-x）n f（x）注：这是一个高阶常微分方程解的Cauchy公式. 证应用定理14.2,可得11）!（h-2）!直到严）十力，g（,lM = f（

10、x）.显然，g（o）= g（o）= = g（i（O） = O,结论得证.例14.6 （二阶方程的Green函数）设G（x,刃=y（l-x）, y x,g（x）= G（x,y）f（y）dy是微分方程d2ll=fMdx2w（0） = w（l） = 0得解.证按G的定义域分段得gd）= （y（iQ/*（y）d.y+由此可得g（O） = g（l） = O.根据定理14. 2,g M = - yfdy + x（-x）f（x）（刃心-（刃= -w（y）dy+ /（y）dy,gx） = -f（x）.习题1. 设 F（y） = J Q dx，计算 F y）.dx2. 求 lim igt 力 1 + % cos ax3. 设F（y）=（斗史血?0.求 F（y）.4. 设F（y）