点线面位置关系知识点加典型例题.docx

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点线面位置关系知识点加典型例题

2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1、教学重点和难点

重点：

空间直线、平面的位置关系。

难点：

三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换

2、三个公理：

（1）公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线在此平面

符号表示为

A∈L

B∈L=>Lα，A∈α，B∈α

公理1作用：

判断直线是否在平面

（2）公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：

A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：

确定一个平面的依据。

推论：

一条直线和其外一点可确定一个平面

两条相交直线可确定一个平面

两条平行直线可确定一个平面

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：

P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L

公理3作用：

判定两个平面是否相交的依据

（4）公理4：

平行于同一条直线的两条直线平行

等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．

2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：

相交、平行、异面

3、异面直线所成角θ的围是00<θ≤900

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：

同一平面，有且只有一个公共点；

平行直线：

同一平面，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面，没有公共点。

2公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：

设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

针对性练习：

1.若直线a不平行于平面，则下列结论成立的是（）

A.所有的直线都与a异面；B.不存在与a平行的直线；

C.所有的直线都与a相交；D.直线a与平面有公共点.

2.已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；

②一个平面的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；

③一个平面的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.

其中正确的个数是（）A.3B.2C.1D.0

3.空间四边形ABCD中，若，则与所成角为

A、B、C、D、

4.给出下列命题：

（1）直线a与平面不平行，则a与平面的所有直线都不平行；

（2）直线a与平面不垂直，则a与平面的所有直线都不垂直；

（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；

（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面

其中错误命题的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3

5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）条A3B4C6D8

6.点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（）（A）心（B）外心（C）重心（D）垂心

7.如图长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角

C1—BD—C的大小为（）

（A）300（B）450（C）600（D）900

8.直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（）

A、若aα，bα,c⊥a,c⊥b则c⊥αB、若bα,a//b则a//α

C、若a//α,α∩β=b则a//bD、若a⊥α,b⊥α则a//b

9.平面与平面平行的条件可以是（）

A.有无穷多条直线与平行；B.直线a//,a//

C.直线a,直线b,且a//,b//D.的任何直线都与平行

10、a,b是异面直线，下面四个命题：

过a至少有一个平面平行于b；过a至少有一个平面垂直于b；

至多有一条直线与a，b都垂直；至少有一个平面与a，b都平行。

其中正确命题的个数是（　　　　）Ａ　０　　Ｂ　１　　Ｃ　２　　Ｄ　３

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.已知直线a//平面，平面//平面，则a与的位置关系为.

12．已知直线a⊥直线b,a//平面,则b与的位置关系为.

13如图，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此图形中有个直角三角形

A

B

C

P

14.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线,

给出四个论断：

①mn②αβ③mβ④nα

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为

正确的一个命题：

______________________________________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

15．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：

AB⊥BC

16．在三棱锥S-ABC中，已知AB=AC，O是BC的中点，平面SAO⊥平面ABC

求证：

∠SAB=∠SAC

17．如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2

（1）求证：

平面AEF⊥平面PBC；

（2）求二面角P—BC—A的大小；（3）求三棱锥P—AEF的体积.

参考答案

1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C

11.平行或在平面；12.平行或在平面；13.4；14.若②③④则①

17.

（2）45°

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：

线线平行，则线面平行。

符号表示：

aα

bβ=>a∥α

a∥b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：

一个平面的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

aβa∩b=Pβ∥α

bβa∥αb∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：

线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

aβa∥b

α∩β=b

作用：

利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：

如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

作用：

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

练习巩固：

1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面的直线（   d）

A.平行    B.异面   C.相交   D.平行或异面

2、下列结论中，正确的有（  a ）

①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b

③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aα

A.1个B.2个   C.3个    D.4个

3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（   ）

A.平行   B.相交   C.在   D.不能确定

4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（   d）

A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,b

C.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在

5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是（   ）

A.b∥α                   B.bα

C.b与α相交                D.以上都有可能

6、下列命题中正确的命题的个数为（ a  ）

①直线l平行于平面α的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;

③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α的无数条直线.

A.1     B.2   C.3   D.4

7、下列命题正确的个数是（   a）

（1）若直线l上有无数个点不在α，则l∥α

（2）若直线l与平面α平行，l与平面α的任意一直线平行

（3）两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行

（4）若一直线a和平面α一直线b平行，则a∥α

A.0个B.1个   C.2个   D.3个

8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

其中真命题是d

①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;

③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.

A.①和②   B.①和③   C.③和④   D.①和④

9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有（　c　）

A.1个      B.2个     C.3个    D.4个

10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.

其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（　　b）

A.1个           B.2个           C.3个           D.4个

二、填空题【共4道小题】

1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.

参考答案与解析:

解析：

由线面平行的性质定理知MN∥PQ（∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ）.易知DP=DQ=.故.答案：

2、如果空间中若干点在同一平面的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.

参考答案与解析:

共线或在与已知平面垂直的平面

3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.

参考答案与解析:

相交或平行或异面

4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平