初升高新高一数学暑假衔接文档格式.docx

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第8讲求函数的值域

第9讲函数的解析式

第10讲函数的表示方法及值域综合复习

第11讲函数的单调性

（1）

第12讲函数的单调性

（2）

第13讲函数的奇偶性

第14讲指数运算

第15讲对数运算

知识点一：

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式

；

（2）完全平方公式

．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式

（2）立方差公式

（3）三数和平方公式

（4）两数和立方公式

（5）两数差立方公式

【典型例题】：

（1）计算：

=___________________________________

（2）计算：

=______________________________

（3）计算

=____________________________

（4）

变式1：

利用公式计算

（1）

=_______________________

（2）

=________________________

变式2:

利用立方和、立方差公式进行因式分解

（1）

（2）

（3）

（4）

【典型例题】

（2）已知

，求

的值．

（3）已知

变式1:

计算：

已知

，

知识点二、根式

式子

叫做二次根式，其性质如下：

（2）

（3）

基本的化简、求值

化简下列各式：

=___________

（2）

=_____________

（3）计算

（4）

=_______________________

（5）

（6）设

二次根式

成立的条件是（）

A．

B．

C．

D．

是任意实数

若

，则

的值是（）

A．－３B．３C．－９D．９

变式3：

计算

知识点三、分式

【典型例题—1】：

1、分式的化简

（1）化简

（2）化简

2、

（1）试证：

（其中n是正整数）；

（2）计算：

（3）证明：

对任意大于1的正整数

，有

3、分式的运用

设

，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值

对任意的正整数n，

______________

选择题：

=（　　）

（A）１（B）

（C）

（D）

变式3:

知识点四、因式分解

【内容概述】

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。

在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。

是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等。

1、【典型例题】：

公式法（立方和、立方差公式）

我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（立方和公式）

（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）。

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。

例：

（2）

变式：

分解因式：

2、【典型例题】：

分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如

既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．

分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：

（1）分组后能提取公因式

（2）分组后能直接运用公式

分解因式

=_______________________

（3）

=_______________________

3、【典型例题】：

十字相乘法

型的因式分解

把下列各式因式分解：

=_______________________

=_______________________

（4）

（5）

（6）

一般二次三项式

变式练习:

（1）x2-6x+5=_______________________

（2）x2+15x+56=_______________________

（3）x2+2xy-3y2=_______________________

（4）（x2+x）2-4（x2+x）-12=_______________________

4、拆项法（选讲）

=_______________________

课后练习：

1．填空：

（）；

（2）

（4）若

的值为________

（5）若

______________

（6）

________________

（7）若

_______________

（8）若

，则（　　）

　（A）

（B）

　（C）

　（D）

（9）计算

等于（　　）

（A）

　（B）

　（D）

（10）若

的值为（）

D．

2．化简：

3．把下列各式分解因式：

（1）

（3）

（6）

知识点一、一元二次方程根的判别式

例1.求下列方程的根

例2.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；

（2）x2－ax－1＝0；

（3）x2－ax＋（a－1）＝0（4）x2－2x＋a＝0．

已知关于

的一元二次方程

，根据下列条件，分别求出

的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程有实数根；

（4）方程无实数根。

知识点二、根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

则有：

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

x1＋x2＝

，x1·

x2＝

这一关系也被称为“韦达定理”．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知：

x1＋x2＝－p，x1·

x2＝q，即：

p＝－（x1＋x2），q＝x1·

x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0。

由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0的两根．因此有：

以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1＋x2）x＋x1·

x2＝0．

例3.已知方程

的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例4.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例5.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例6.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求|x1－x2|的值；

（2）求

的值；

是方程

的两个根，试求下列各式的值：

例7.若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的范围．

例8.已知关于

的方程

的值。

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根

满足

。

例9.已知

是一元二次方程

的两个实数根。

（1）是否存在实数

，使

成立？

若存在，求出

的值；

若不存在，请说明理由。

（2）求使

的值为整数的实数

的整数值。

填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则

＝．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是．

（4）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．

（5）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．

，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求（x1－3）（x2－3）的值．

变式4:

已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2（x1＋x2）＞x1x2，求实数k的取值范围．