经典编排高中数学必修5第一章解三角形6篇同步练习+2篇章末检测+复习合集文档格式.docx
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答案 C
解析 由正弦定理
，
得
，∴b＝2
3.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为（ ）
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等边三角形D.等腰三角形
答案 A
解析 sin2A＝sin2B＋sin2C⇔（2R）2sin2A＝（2R）2sin2B＋（2R）2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形.
4.在△ABC中，若sinA>
sinB，则角A与角B的大小关系为（ ）
A.A>
BB.A<
B
C.A≥BD.A，B的大小关系不能确定
解析 由sinA>
sinB⇔2RsinA>
2RsinB⇔a>
b⇔A>
B.
5.在△ABC中，A＝60°
，a＝
，b＝
，则B等于（ ）
A.45°
或135°
B.60°
C.45°
D.135°
解析 由
得sinB＝
∵a>
b，∴A>
B，B<
60°
∴B＝45°
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝
a，B＝30°
，那么角C等于（ ）
A.120°
B.105°
C.90°
D.75°
解析 ∵c＝
a，∴sinC＝
sinA＝
sin（180°
－30°
－C）
sin（30°
＋C）＝
即sinC＝－
cosC.
∴tanC＝－
又C∈（0°
，180°
），∴C＝120°
二、填空题
7.在△ABC中，AC＝
，BC＝2，B＝60°
，则C＝_________.
答案 75°
解析 由正弦定理得
，∴sinA＝
∵BC＝2<
AC＝
，∴A为锐角.∴A＝45°
∴C＝75°
8.在△ABC中，若tanA＝
，C＝150°
，BC＝1，则AB＝________.
答案
解析 ∵tanA＝
，A∈（0°
），∴sinA＝
由正弦定理知
∴AB＝
9.在△ABC中，b＝1，c＝
，C＝
，则a＝________.
答案 1
解析 由正弦定理，得
∴sinB＝
.∵C为钝角，
∴B必为锐角，∴B＝
∴A＝
∴a＝b＝1.
10.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°
，则A＝______.
答案 30°
解析 ∵b＝2a∴sinB＝2sinA，又∵B＝A＋60°
∴sin（A＋60°
）＝2sinA
即sinAcos60°
＋cosAsin60°
＝2sinA，
化简得：
cosA，∴tanA＝
，∴A＝30°
三、解答题
11.在△ABC中，已知a＝2
，A＝30°
，B＝45°
，解三角形.
解 ∵
∴b＝
＝4.
∵C＝180°
－（A＋B）＝180°
－（30°
＋45°
）＝105°
∴c＝
＝2＋2
12.在△ABC中，已知a＝2
，b＝6，A＝30°
解 a＝2
，b＝6，a<
b，A＝30°
<
90°
又因为bsinA＝6sin30°
＝3，a>
bsinA，
所以本题有两解，由正弦定理得：
sinB＝
，故B＝60°
或120°
当B＝60°
时，C＝90°
，c＝
＝4
；
当B＝120°
时，C＝30°
，c＝a＝2
所以B＝60°
，C＝90°
，c＝4
或B＝120°
，C＝30°
，c＝2
能力提升
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a＝
，b＝2，sinB＋cosB＝
，则角A的大小为________.
解析 ∵sinB＋cosB＝
sin（
＋B）＝
∴sin（
＋B）＝1.
又0<
B<
π，∴B＝
由正弦定理，得sinA＝
又a<
b，∴A<
B，∴A＝
14.在锐角三角形ABC中，A＝2B，a，b，c所对的角分别为A，B，C，求
的取值范围.
解 在锐角三角形ABC中，A，B，C<
即
∴30°
45°
由正弦定理知：
＝2cosB∈（
），
故
的取值范围是（
）.
1.利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
2.已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解.例如：
已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况.
A为锐角
a<
bsinA
a＝bsinA
b
a≥b
无解
一解（直角）
两解（一锐角，
一钝角）
一解（锐角）
A为直角
或钝角
a≤b
a>
1.1.1 正弦定理
（二）
1.熟记正弦定理的有关变形公式；
2.能够运用正弦定理进行简单的推理与证明.
1.正弦定理：
＝2R的常见变形：
（1）sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；
（2）
＝2R；
（3）a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
（4）sinA＝
，sinB＝
，sinC＝
2.三角形面积公式：
S＝
absinC＝
bcsinA＝
casinB.
1.在△ABC中，sinA＝sinB，则△ABC是（ ）
A.直角三角形B.锐角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
2.在△ABC中，若
，则△ABC是（ ）
A.直角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：
∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.
3.在△ABC中，sinA＝
，a＝10，则边长c的取值范围是（ ）
B.（10，＋∞）
C.（0,10）D.
解析 ∵
，∴c＝
sinC.
∴0<
c≤
4.在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是（ ）
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形
解析 由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，
∴sin（B＋C）＝2sinBcosC，
∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
∴sin（B－C）＝0，∴B＝C.
5.在△ABC中，已知（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于（ ）
A.6∶5∶4B.7∶5∶3
C.3∶5∶7D.4∶5∶6
解析 ∵（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，
∴
令
＝k（k>
0），
则
，解得
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6.已知三角形面积为
，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为（ ）
A.1B.2
C.
D.4
解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝
，∴abc＝1.
7.在△ABC中，已知a＝3
，cosC＝
，S△ABC＝4
，则b＝________.
答案 2
解析 ∵cosC＝
，∴sinC＝
absinC＝4
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°
，b＝1，则c＝________.
，得
，故B＝30°
或150°
.由a>
b，
得A>
B，∴B＝30°
，故C＝90°
由勾股定理得c＝2.
9.在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则
＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，
＝2R＝2，
＝2＋1＋4＝7.
10.在△ABC中，A＝60°
，a＝6
，b＝12，S△ABC＝18
＝________，c＝________.
答案 12 6
解析
＝12.
∵S△ABC＝
×
6
12sinC＝18
∴sinC＝
，∴
＝12，∴c＝6.
11.在△ABC中，求证：
证明 因为在△ABC中，
＝2R，
所以左边＝
＝右边.
所以等式成立，即
12.在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状.
解 设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA
⇔
⇔sinAcosA＝sinBcosB
⇔sin2A＝sin2B
⇔2A＝2B或2A＋2B＝π
⇔A＝B或A＋B＝
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
13.在△ABC中，B＝60°
，最大边与最小边之比为（
＋1）∶2，则最大角为（ ）
C.75°
D.90°
解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°
∴tanA＝1，A＝45°
，C＝75°
14.在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a＝2，C＝
cos
，求△ABC的面积S.
解 cosB＝2cos2
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