经典相似三角形练习题附答案Word文件下载.docx
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如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.
①BE=CD;
②△AMN是等腰三角形;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°
,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立;
(3)在
(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:
△PBD∽△AMN.
6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.
7.如图,在4×
3的正方形方格中,△ABC和△DEF
的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:
∠ABC= _________ °
,BC= _________ ;
(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.
8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.
某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;
同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:
(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的
?
(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?
若存在,求t的值;
若不存在,请说明理由.
9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;
(注意:
全等看成相似的特例)
(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.
10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°
,∠BDC=60°
,CE⊥BD于E,连接AE.
(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;
(2)图中有无相似三角形?
若有,请写出一对;
若没有,请说明理由;
(3)求△BEC与△BEA的面积之比.
11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.
(1)求四边形AQMP的周长;
(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);
(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.
12.已知:
P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:
△ADM∽△MCP.
13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.
(1)求梯形ABCD的面积S;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;
动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:
①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?
若存在,请求出t的值;
若不存在,请说明理由;
②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?
若存在,请求出所有符合条件的t的值;
③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?
14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?
15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.
16.如图,∠ACB=∠ADC=90°
,AC=
,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.
17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?
若能,请给出证明,若不能,请说明理由.
18.如图在△ABC中,∠C=90°
,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?
19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.
20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°
,
△DEF的顶点E位于边BC的中点上.
(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:
△BEM∽△CNE;
(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除
(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.
21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?
变长或变短了多少米?
23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:
皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.
(1)所需的测量工具是:
_________ ;
(2)请在下图中画出测量示意图;
(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.
24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:
甲组:
如图1,测得一根直立于平地
,长为80cm的竹竿的影长为60cm.
乙组:
如图2,测得学校旗杆的影长
为900cm.丙组:
如图3,测得校园
景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体
其粗细忽略不计)的高度为200cm,
影长为156cm.任务要求:
(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;
(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:
如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;
需要时可采用等式1562+2082=2602)
25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.
26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.
(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;
(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;
(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.
27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;
(不必证明)
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与
(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;
(4)类比
(1),
(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.
28.已知:
如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.
29.已知:
如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.
(1)求BD、CD的长;
(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.
30.
(1)已知
,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;
(2)已知:
两相似三角形对应高的比为3:
10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.
解答:
证明:
∵DE∥BC,
∴DE∥FC,
∴∠AED=∠C.
又∵EF∥AB,
∴EF∥AD,
∴∠A=∠FEC.
∴△ADE∽△EFC.
点评:
本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.
(1)证明:
∵梯形ABCD,AB∥CD,
∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)
∴△CDF∽△BGF.(3分)
(2)解:
由
(1)△CDF∽△BGF,
又F是BC的中点,BF=FC,
∴△CDF≌△BGF,
∴DF=GF,CD=BG,(6分)
∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,
∴E为AD中点,
∴EF是△DAG的中位线,
∴2EF=AG=AB+BG.
∴BG=2EF﹣AB=2×
4﹣6=2,
∴CD=BG=2cm.(8分)
∵FD∥AB,FE∥AC,
∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,
∴△ABC∽△FDE.
∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°
,(2分)
∴∠BAF=∠AED.(4分)
∵BF⊥AE,
∴∠A