重庆市康德卷学年高一上学期末数学试题.docx

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重庆市康德卷学年高一上学期末数学试题

重庆市康德卷2020-2021学年高一上学期末数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合

，则

（）

A．

B．

C．

D．

2．已知扇形的半径为

，圆心角为

，则扇形的面积为（）

A．

B．

C．

D．

3．函数

的定义域为（）

A．

B．

C．

D．

4．已知

，则

（）

A．

B．

C．

D．

5．已知

，则

（）

A．

B．

C．

D．

6．已知

，则下列不等式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

7．要得到函数

的图象，只需将函数

的图象（）

A．向左平移

个单位长度B．向右平移

个单位长度

C．向左平移

个单位长度D．向右平移

个单位长度

8．已知

，则

的大小关系是（）

A．

B．

C．

D．

9．下列函数中最小正周期为

，且在

上单调递增的是（）

A．

B．

C．

D．

10．已知定义在

上的奇函数

满足

，且

，则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

11．如图，点

是函数

图象上两点，将

的图象向右平移两个单位长度后得到函数

的图象，点

为

图象上点，若

轴且

为等边三角形，则

点的横坐标为（）

A．

B．

C．

D．

12．已知函数

，若关于x的方程

有四个不同的根

且

，则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．角

的终边上有一点

，则

________.

14．已知集合

，则集合

中所有元素之和为________.

15．已知

均为锐角，

，

________.

16．若

表示不超过实数

的最大整数，比如：

.已知

，则

的取值范围是________.

三、解答题

17．已知集合

.

（1）求

；

（2）若

，求实数

的取值范围.

18．已知函数

的部分图象如图所示.

（1）求

的解析式；

（2）

，求

的值.

19．计算：

（1）

；

（2）

.

20．已知函数

.

（1）若

在

轴正半轴上有两个不同的零点，求实数

的取值范围；

（2）当

时，

恒成立，求实数

的取值范围.

21．已知函数

与

的最小正周期相同，且

.

（1）求

及

的值；

（2）若

在

上是单调递增函数，求

的最大值.

22．已知函数

（

且

）.

（1）若

，求

的单调区间；

（2）若存在实数

及

，使得

在区间

上的值域为

，分别求

和

的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

先确定集合

中的元素，再由交集定义求交集．

【详解】

由题意

，∴

．

故选C．

【点睛】

本题考查集合的交集运算，属于基础题．

2．B

【分析】

由扇形面积公式计算．

【详解】

．

故选B．

【点睛】

本题考查扇形面积公式，属于基础题．

3．D

【分析】

由分母不为0，二次根式下被开方数不小于0，对数的真数大于0可得．

【详解】

由题意

得

．

故选D．

【点睛】

本题考查函数的定义域，属于基础题．函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合．

4．C

【分析】

根据对数的定义求解.

【详解】

∵

，∴

，∴

.

故选C.

【点睛】

本题考查对数的定义，属于基础题.

5．C

【分析】

已知原式分子分母同除以

，然后解方程即可.

【详解】

∵

，∴

，解得

.

故选C.

【点睛】

本题考查同角间的三角函数关系，属于基础题.关于

的齐次式

或

等都可转化为

的分式，然后求解.

6．D

【分析】

可举例说明一些不等式不一定成立.

【详解】

设

，

，满足

，但

，

，

，∴A、B、C不一定成立，

只有D一定成立.

故选D.

【点睛】

本题考查不等式的性质，对不等式是否一定成立问题，可通过举反例说明它不一定成立.

7．D

【分析】

把

变为

就可以看出怎么平移.

【详解】

∵

，∴把函数

的图象向右移

个单位就可得到函数

的图象.

故选D.

【点睛】

本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.

8．B

【分析】

分别与特殊值1，2比较大小.

【详解】

∵

，

，

，∴

.

故选B.

【点睛】

本题考查比较实数的大小，对于不同类型的数比大小时要借助于中间值，如0，1，2等，与中间比较大小后得出它们的大小，相同类型的数可借助相应函数的单调性比较大小.

9．A

【分析】

把复杂的函数化简后，确定周期和单调性.

【详解】

，周期为

，

时，

，此函数在

上递增，

的周期是

，

的周期是

，

在

上递减，只有A正确.

故选A.

【点睛】

本题考查三角函数的周期性和单调性，一般要把函数化为一个角的一个三角函数形式，

，然后利用正弦函数或余弦函数的性质求解.

10．A

【分析】

根据奇函数性质以及条件得函数周期性，再根据周期求函数值.

【详解】

∵

为奇函数，∴

，又

，∴

，

∴

，∴函数

是周期为4的周期函数，

∴

，

又

，∴

．选A．

【点睛】

本题考查奇函数性质、周期性质，考查基本求解能力.

11．B

【分析】

设

，利用

是边长为2的等边三角形，且

轴，因此可得

点坐标为

），代入

可解得

.

【详解】

设

，由等边三角形边长为2，且

轴，所以

又点C在

图象上，所以

，即

，

.

故选B.

【点睛】

本题考查指数函数的图象与性质.解题关键是由等边三角形得出

两点间坐标的关系.从而求解.

12．C

【分析】

作出函数

的图象及直线

，它们有四个交点，交点的横坐标依次为

，根据函数的性质分析，

，

，

，这样

，利用函数

在

上的单调性可求得其取值范围．

【详解】

作出函数

的图象，直线

，如图，可知

，

，

∴

，

.

对函数

（

），设

，

，

易知当

时，

，当

时，

，即

在

递减，在

上递增.

∴函数

，在

时，递减，在

上递增，

时，

取最小值为4，又

，

，∴

.

故选C.

【点睛】

本题考查函数零点与方程根的分布问题，解题时把方程的根理解为函数图象交点的横坐标，由图象分析根的性质，从而求解．数形结合思想是解决这类问题常用思想方法．

13．

【分析】

根据正弦函数定义求解．

【详解】

由题意

，

∴

．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查正弦函数定义，属于基础题．

14．2

【分析】

先解一元二次不等式得解集，再由

确定集合的元素．

【详解】

，又

，∴

，∴所有元素之和为2．

故答案为：

2．

【点睛】

本题考查集合的概念，正确解出一元二次不等式是解题基础．

15．

【分析】

由已知求出

，然后由两角和的余弦公式计算．

【详解】

由

，

都是锐角，且

，知

，

，

所以

，

，又

．

故答案为：

．

【点睛】

本题考查两角和的余弦公式，解题时注意“角”的变换，注意公式中“单角”、“复角”的转化．

16．

【分析】

把方程

化为

，由正弦函数性质求出

，然后按

分类讨论．

【详解】

，

或

，

即

或

，

当

时，

显然满足上式；

当

时，

，

或

，由

得

；

当

时，

，

或

，但

，没有整数k使得x满足前两式；

显然

不是解，所以

【点睛】

本题考查两角和的正弦公式，考查正弦函数的的性质．解题时把三角函数式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解，为了求得最终的

，需把

的定义分类讨论．

17．

（1）

；

（2）

.

【分析】

（1）解指数不等式得集合

；

（2）由

得

，对

按

，

，

分类讨论后求解．

【详解】

（1）

；

（2）当

时，

；

，

当

时，

；由

，

，∴

，

当

时，

，显然

综上，

.

【点睛】

本题考查解指数不等式，考查集合的交集运算及集合的包含关系．解含参数的不等式需要分类讨论．

18．

（1）

；

（2）

.

【分析】

（1）由最大值和最小值确定

，由两个零点确定周期，然后可求得

，代入零点坐标可求得

（注意零点在增区间内还是在减区间内）；

（2）由

（1）可得

，然后确定

的范围后可确定

的正负，然后由平方关系求解．

【详解】

（1）显然

，

设最小正周期为T，由题

，

∴

，

，

∵

经过点

，∴

，

，

∵

，∴

，

∴

.

（2）

，

，

∵

，

，

∴

∴

.

【点睛】

本题考查由函数图象求

的解析式，考查同角间的三角函数关系．属于基础题．要注意的是用平方关系求值时要确定角的范围．

19．

（1）1；

（2）2.

【分析】

（1）用诱导公式化简；

（2）由对数定义和运算法则计算．

【详解】

（1）原式

；

（2）原式

.

【点睛】

本题考查诱导公式，考查对数的概念与运算法则，属于基础题．

20．

（1）

；

（2）

.

【分析】

（1）首先

，保证有两个不等实根，又

，两根同号，因此只要两根的和也大于0，则满足题意；

（2）当

时，

恒成立，转化为

在

上恒成立即可,只要求得

在

上的最小值即可．

【详解】

（1）由题知

有两个不等正根，则

，∴

；

（2）

恒成立即

恒成立，

又

，故

在

上恒成立即可,

又

在

上的值域为

故

.

【点睛】

本题考查一元二次方程根的分布，考查不等式恒成立问题．一元二次方程根的分布可结合二次函数图象得出其条件，不等式恒成立可采用分离参数法，把问题转化为求函数的最值．

21．

（1）

，

；

（2）

.

【分析】

（1）由

确定

，再由两函数周期相同确定

；

（2）利用正弦函数的性质求出

的增区间，这个增区间包含

可得出

满足的关系，最后由

的取值得

的取值范围，得最大值．

【详解】

（1）由题

，

∴

，

，

∴

，

，由

得

.

，

又

，

最小正周期相同，

，得

；

（2）

，

令

，

得

，即

为

的单调递增区间，

由题意，

且

，

，

由

，得

且

，解得

，

，

，即

的最大值为

.

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质，掌握三角函数的周期性、单调性是解题基础，

22．

（1）

在

和

上单调递增；

（2）

，

.

【分析】

（1）根据复合函数的单调性得结论；

（2）由定义域和值域知函数

是减函数，从而有

，且

，由值域得

，即

且

，

即

在

有两个不相等的实数根，分离参数有

在

有两个不相等的实数根，令

换元后，结合函数的单调性可得

的范围，同时得出

的范围．

【详解】

（1）

的定义域为

，

，

当

或

时，

单调递