考点44曲线与方程圆锥曲线的综合应用文档格式.docx
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D.
【解题指南】本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值.
【解析】选D.经过第一象限的双曲线的渐近线为
.抛物线的焦点为
双曲线的右焦点为
.
，所以在
处的切线斜率为
，即
，所以
，即三点
，
共线，所以
二、填空题
3.（2013·
江西高考理科·
Ｔ14）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线
相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=___________.
【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系，分析可知△ABF的高为P，可构造p的方程解决.
【解析】由题意知△ABF的高为P，将
代入双曲线方程得A，B两点的横坐标为
，因为△ABF为等边三角形，所以
，从而解得
【答案】6.
4.（2013·
安徽高考理科·
Ｔ13）已知直线
交抛物线
于
两点。
若该抛物线上存在点，使得
为直角，则的取值范围为___________
【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为
的圆，数形结合可得。
【解析】联立直线
与抛物线
得
，满足题设条件的点C的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，其方程为
。
由数形结合可知当
时满足题设要求，解得
【答案】
三、解答题
5.（2013·
北京高考理科·
Ｔ19）已知A、B、C是椭圆W：
上的三个点，O是坐标原点.
（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
【解题指南】
（1）利用OB的垂直平分线求出AC的长，再求面积；
（2）若是菱形，则OA=OC，A点与C点的横坐标相等或互为相反数。
【解析】
（1）线段OB的垂直平分线为
或
，所以菱形面积为
|OB|·
|AC|=
×
2×
=.
（2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.
设OA=OC=r（r>
1），则A、C为圆
与椭圆
的交点.
所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等，
此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.
6.（2013·
江西高考文科·
Ｔ20）椭圆C:
（a>
b>
0）的离心率
，a+b=3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:
2m-k为定值.
（1）借助椭圆中
的关系及两个已知条件即可求解；
（2）可以写出BP的直线方程，分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标，再利用DP与x轴表示点N的坐标，最终把m表示成k的形式，就可求出定值；
另外也可设点P的坐标，把k与m都用点P的坐标来表示.
（1）因为
，又由
，代入a+b=3，得
.故椭圆C的方程为
（2）方法一：
因为B（2,0），P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为
将
代入
，解得P
直线AD的方程为：
.
联立
解得M
由D（0,1），P
，N（x,0）三点共线可知
，所以点
所以MN的斜率为m
则
（定值）.
方法二：
设
，则
，直线AD的方程为
直线BP的方程为
，直线DP的方程为
令y=0，由于
，可得
解
可得M
所以MN的斜率为
=
故
7.（2013·
广东高考文科·
Ｔ20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点
（
）到直线：
的距离为
.设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线PA，PB,其中A,B为切点.
（1）求抛物线的方程；
（2）当点
为直线上的定点时，求直线
的方程；
（3）当点在直线上移动时，求
的最小值.
【解题指南】本题以抛物线的切线为载体，考查抛物线方程、导数与切线、直线方程及最值等内容.解题过程中，抛物线的性质需要熟练运用.
（1）因为
到直线：
（注意
），可得抛物线的方程为
；
（2）设切点
对
（即
）求导可得
，切线的斜率为
，将
和
代入整理可得
，同理切线的斜率为
，由
可得点
都适合方程
，也就是当点
为直线上的定点时，直线
的方程即为
（3）由抛物线的性质可知
到焦点
的距离等于到准线
的距离，所以
联立方程
消去整理得
，由一元二次方程根与系数的关系可得
又
，所以当
时,
取得最小值,且最小值为
8.（2013·
广东高考理科·
9.（2013·
重庆高考理科·
Ｔ21）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率
，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，
．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．若
⊥
，求圆的标准方程．
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆外且
求出圆的方程.
（Ⅰ）设椭圆方程为
+
=1（a>
0）,由题意知点
在椭圆上,则
从而
由
，得
故该椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性,可设
又设
是椭圆上任意一点,则
由题意,是椭圆上到的距离最小的点,因此,上式当
时取最小值,又因为
所以上式当
时取最小值,从而
且
因为
，且
所以
即
.由椭圆方程及
解得
.从而
故这样的圆有两个,其标准方程分别为
10.（2013·
重庆高考文科·
（Ⅱ）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求
的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．
【解题指南】直接利用已知条件可求出椭圆的标准方程，设出点的坐标，利用椭圆上的其余点均在圆外可求
的面积的最大值以及圆的方程.
（Ⅰ）由题意知点
由对称性知
所以
当
时,
的面积取到最大值
此时对应的圆的圆心坐标为
半径
因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为
11.（2013·
新课标Ⅰ高考文科·
Ｔ21）与（2013·
新课标Ⅰ高考理科·
Ｔ20）相同
已知圆：
圆：
动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于A，B两点，当圆的半径最长时，求
（Ⅰ）根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C的方程.
（Ⅱ）结合图象，确定当圆的半径最长时的情形，并对的值进行分类求解.
【解析】由已知得圆的圆心为
，半径
圆圆心为
.设圆的圆心为
半径为
（Ⅰ）动圆与外切并且与圆内切。
由椭圆定义可知，曲线是以，为左、右焦点，长半轴长为2,短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为
（Ⅱ）对于曲线上任意一点
由于
，当且仅当圆的圆心为
时，
，所以当圆的半径最长时，其方程为
若的倾斜角为，则与轴重合，可得
若的倾斜角不为，由
，知不平行于轴，设与轴的交点为，
，可求得
，所以可设：
，由与圆相切得
，解得
时，将
，并整理得
时，由图形的对称性可知
综上，
12.（2013·
Ｔ20）如图，椭圆
经过点P（
），离心率
，直线l的方程为x=4.
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：
是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？
若存在，求λ的值；
若不存在，说明理由
（1）注意到点P在椭圆上，
与
可求出椭圆中的a，b，进而可写出椭圆的方程；
（2）设出直线AB的方程，联立直线与椭圆方程，结合A、F、B三点共线可得k1+k2与k3的关系,进而可求λ的值
（1）由
在椭圆上得，
依题设知a=2c，则a2=4c2,
，
故椭圆C的方程为
由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为
代入椭圆方程并整理得
，则有
在方程
中令x=4得M（4，3k）.
注意到A、F、B三点共线，则有
即
故存在常数
符合题意.
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