小学期数学建模大作业 西安交通大学.docx

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小学期数学建模大作业西安交通大学

第一次作业

一、问题的叙述，问题的分析

叙述：

对于由连续曲线所围成的平面区域能否做到以下几点:

1用平行于某定直线的直线二等分该区域;

2用垂直于某定直线的直线二等分该区域;

3用相互垂直的两条直线四等分该区域

分析:

问题简化为对三个题目的证明

已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线（形状不定），设有一定直线L过某点P0且与x轴的正向夹角为a

二、问题求解

<1>:

证明

作一平行于L的直线l，l过点p且将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为,.若=（发生的概率较小），则得到直线a的斜率，即可得定直线L；若,设

，且L的斜率为tanα

将直线l按逆时针方向旋转，面积，连续地依赖斜率变化而变化，记为（k），（k），设，如图17-3，17-4所示。

令）则有

函数上连续，且在端点异号：

=（k1）-（k1）

根据闭区间上连续函数的零点定理必存在一斜率使=0，即

。

过曲线内p做直线l，取斜率为则直线L过定点P0且斜率为，所以解得某定直线L与其平行的任意直线l平分改闭合区域。

由上述知1得证

<2>:

证明

同理有定直线L，垂直于L的直线为b,其斜率为K3=-1/tanα。

同理可得存在这样的一条直线b，所以2得证。

<3>:

证明

由<1>,<2>可知，对平面上任意的封闭区域，在任意方向上都存在直线将其面积等分

如下图两种连续移动都可以满足介值定理，通过平移的方法很容易证明，在任意一个方向上都可以先找到一条直线a使其平分封闭区域的面积，然后可以作直线b，垂直于L且可以平分该封闭区域的面积此时Ⅰ+Ⅱ=Ⅲ+Ⅳ=Ⅰ+Ⅳ=Ⅱ+Ⅲ,从而Ⅰ=Ⅲ,Ⅱ=Ⅳ,若求得Ⅰ=Ⅱ,则命题得证；设Ⅰ

逆时针调节直线a，b，直到a与b的初始位置重合如下图;

在调整的过程中,Ⅰ=Ⅱ,Ⅱ=Ⅰ,于是根据介值定理，必然存在某一时刻Ⅰ=Ⅱ,所以<3>得证

第二次作业

1.题目：

2.题目分析：

（1）yk=Ck+ZK+g；

（2）CK=byk-1；

（3）ZK=α（Ck-Ck-1）；

3.模型求解：

有题目分析得CK=byk-1，ZK=α（Ck-Ck-1）=αb（yk-1-yk-2）

将CK，ZK代入yk得

yk+1=byk+αb（yk-yk-1）+g；

一个特解为；

特征方程为λ2-（αb+b）λ+αb=0；

假设α=10，g=5，y1=12，y2=15.775

讨论：

（1）若方程有两个实根

解的：

λ1=b/2+（a*b）/2-（b*（b-4*a+2*a*b+a^2*b））^（1/2）/2

λ2=b/2+（a*b）/2+（b*（b-4*a+2*a*b+a^2*b））^（1/2）/2

所以yk=C1λ1k+C2λ2k+=C1[b/2+（a*b）/2-（b*（b-4*a+2*a*b+a^2*b））^（1/2）/2]k+C2[b/2+（a*b）/2-（b*（b-4*a+2*a*b+a^2*b））^（1/2）/2]k+

取b=0.5有

解得原方程的解为：

（2）方程有一个解

△=0；b=；λ=

解的原方程为

（3）△<0原方程无解

程序

x=1:

20;

y1=10+4.3508.^x+1.4192.^x;

y2=（12-3.3266.*x）.*1.8182.^x;

plot（x,y1,'g.','markersize',25）

holdon;

plot（x,y2,'r.','markersize',25）

legend（'Á½¸öʵ¸ù','Ò»¸öʵ¸ù'）

grid;

第三次作业

P.172实验二最短电缆长度问题

设有九个节点，它们的坐标分别为a（0,15）,b（5,20）,c（16,24）,d（20,20）,e（33,25）,f（23,11）,g（35,7）,h（25,0）,i（10,3）任意两个节点之间的距离为：

问：

怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆的长度为最短.

问题分析：

本题研究的是一个最优化问题。

问题中给出了9个节点坐标，需要从复杂的连接方案中选出最短的电缆连接路线。

要设计方案求最短电缆长度，可先求出任意两点间的距离，然后在构造边权矩阵，用prim算法求电缆线的最优连通方案。

符号说明：

W：

任意两点之间的距离矩阵X:

节点的横坐标Y：

节点的纵坐标

解：

先计算出任意两点间的距离；

W=[];

X=[0516203323352510];

Y=[152024202511703];

N=length（X）;

fori=1:

N

forj=1:

N

W=[W;（abs（X（i）-X（j））+abs（Y（i）-Y（j）））]

end

end

W'

输出结果截图为：

将结果整理列表如下：

w（I,j）

a

b

c

d

e

f

g

h

i

a

0

10

25

25

43

27

43

43

40

b

0

15

15

33

27

43

40

22

c

0

8

18

20

36

33

27

d

0

18

12

28

25

27

e

0

24

20

33

21

f

0

16

13

29

g

0

17

29

h

0

18

i

0

用prim算法求电缆线的最优连通方案；

运行结果截图为：

分析结果可知：

最小生成树的边集合为{（1,2），（2,3），（3,4）,（4,6），（6,8），（6,7），（3,5），（8,9）}

即用prime算法求出的最优电缆连接方案为：

{（a,b），（b,c），（c,d），（d,f），（f,h），（f,g），（c,e），（h,i）}。

第四次作业

一、问题引入：

假设某地人口总数保持不变，每年有A%的农村人口流入城镇，有B%的城镇人口流入农村，但人口的流动性始终保持在5%以下，并且农村人口流入城镇比例大于城镇流入农村人口，即（B

试讨论至少四组不同的A、B值，得到该地的城镇人口与农村人口的分布的最终状态。

二、问题分析：

关于人口迁移问题：

这个人口的变化可以由矩阵乘法来确定。

假设初始时有30%生活在城市，70%生活在农村。

令c=,=

则1年后，城市和农村人口比例可由表示，一般的，n年后，城市和农村人口比例可由表示。

三、编辑程序运行：

利用所建模型，用Matlab计算第i年人口的关系式

假设A=4，B=2，令i的值逐渐增大，求得：

，，，，

研究本问题中当时间无限长时农村人口以及城镇人口的极限状况．

因为=，

所以当n趋向于无穷时

讨论A、B不同取值对最终结果的影响．

A

B

城市人口所占比例

农村人口所占比例

1

1.5

0.5

1/4

3/4

2

2.5

0.5

1/6

5/6

3

2.5

1.5

3/8

5/8

4

3.5

0.5

1/8

7/8

5

3.5

1.5

3/10

7/10

6

3.5

2.5

5/12

7/12

7

4.5

0.5

1/10

9/10

8

4.5

1.5

1/4

3/4

9

4.5

2.5

0.3571

0.6429

10

4.5

3.5

7/16

9/16

第五次作业

一、问题的叙述，问题的分析

叙述：

房屋管理部门想在房顶的边檐安装一个檐槽，其目的是为了雨天出入方便。

从屋脊到屋檐的房顶可看成是一个a米长，b米宽的矩形平面，房顶与水平方向的倾斜角度一般在20~50

b

a

现有一公司想承接这项业务，允诺：

提供一种新型的檐槽，包括一个横截面为半圆形（半径为dcm）的水槽和一个竖直的排水管（直径为lcm），不论天气情况如何，这种檐槽都能排掉房顶的雨水。

b

a

房管部门犹豫，考虑公司的承诺能否实现。

请你建立数学模型，论证这个方案的可行性。

也可结合实际中进行水槽的设计。

分析：

水槽的容量能否足以排出雨水的问题，简化为水箱的流入流出问题。

从房项上流下的雨水量是流入量;顺垂直于房顶的排水管排出的是流出量。

水槽能否在没有溢出的情况下将全部雨水排出，即就是要研究水槽中水的深度与时间的函数关系。

假设：

（1）雨水垂直下落并且直接落在房顶上；

（2）落在房顶上的雨水全部迅速流入水槽中；

（3）落在房顶上的雨没有溅到外面去；

（4）在排水系统中不存在一些预料不到的障碍，象落在房顶上的杂物、树叶等；

（5）假设在水槽中已有雨水深0.05m;

模型建立：

根据速度平衡原理，对于房顶排水系统水槽中水的容量的变化率=雨水的流入速度-排水管流出的速度。

分别是单位时间流入水槽和从水槽流出的雨水量的体积。

雨

表示单位时间里落在水平面上雨水的深度，房顶的面积水流b

实际受雨的水平面积，房顶上雨水的流速

流入水槽的速度应是在铅垂方向的分量

排水管的流出速度应与水槽中水的深度有关。

根据能量守恒原理

水槽中水的体积为

，

h

求解与分析：

将表中的数据代入（7）式，用matlab解得

由假设

（1）若。

先讨论水槽的深度趋于一个低于0.075m的稳定值，即时。

将代入上述模型，得到h（t）=899209.148v^2

当h（t）<=0.075时，解得v<=0.00028802

由此得到，当v<=0.00028802m/s时，水不溢出；当v>0.00028802m/s时，水溢出。

下面，用matlab对这一结论进一步分析。

不妨取v=0.0002、0.000288分别代入方程（*）求其数值解，并作出图形：

编写a.m文件：

functionhp=a（t,h1）

hp=（1.374038*0.0002-0.001449*sqrt（h1））/sqrt（0.15*h1-h1^2）;

functionhp=b（t,h2）

hp=（1.374038*0.0003-0.001449*sqrt（h2））/sqrt（0.15*h2-h2^2）;

执行matlab程序：

>>[t,h1]=ode45（'a',[0,60],0.01）;

>>plot（t,h1）

>>[t,h2]=ode45（'b',[0,60],0.01）;plot（t,h2）

我国气象部门规定24h降水量在200mm以上（约0.000002m/s）的雨为特大暴雨。

对于这种情形，v>0.00028802m/s即24h降水量在24884.9mm以上的强降雨机率几乎为0，因此，这个公司的承诺是能兑现的。

（2）若为周期函数，不妨设为正弦函数，即：

这表明下雨过程是在60s内发生的一个短促的强阵雨过程，最大的降雨强度是0.00001m/s,由方程（*）得到如下微分方程：

运用matlab求数值解：

编写shuicao.m文件：

functionf=shuicao（t,h）

f=（0.000412*sin（pi*t/60）-0.001449*sqrt（h））/sqrt（0.15*h-h^2）;

执行matlab程序：

>>[t,