高数下册知识点五Word格式.docx
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运算律:
反交换律
(三)曲面及其方程
1、曲面方程的概念:
2、旋转曲面:
面上曲线
绕
轴旋转一周:
3、柱面:
表示母线平行于
轴,准线为
的柱面
4、二次曲面
1)椭圆锥面:
2)椭球面:
旋转椭球面:
3)单叶双曲面:
4)双叶双曲面:
5)椭圆抛物面:
6)双曲抛物面(马鞍面):
7)椭圆柱面:
8)双曲柱面:
9)抛物柱面:
(四)空间曲线及其方程
1、一般方程:
2、参数方程:
,如螺旋线:
3、空间曲线在坐标面上的投影
,消去
,得到曲线在面
上的投影
(五)平面及其方程
1、点法式方程:
法向量:
,过点
2、一般式方程:
截距式方程:
3、两平面的夹角:
4、点
到平面
的距离:
(六)空间直线及其方程
1、一般式方程:
2、对称式(点向式)方程:
方向向量:
3、参数式方程:
4、两直线的夹角:
5、直线与平面的夹角:
直线与它在平面上的投影的夹角,
第九章多元函数微分法及其应用
(一)基本概念
1、距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集。
2、多元函数:
,图形:
3、极限:
4、连续:
5、偏导数:
6、方向导数:
其中
为
的方向角。
7、梯度:
,则
。
8、全微分:
(二)性质
1、函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系:
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理,最大最小值定理,介值定理)
3、微分法
1)
定义:
2)
复合函数求导:
链式法则
若
,则
3)隐函数求导:
两边求偏导,然后解方程(组)
(三)应用
1、极值
1)无条件极值:
求函数
的极值
解方程组
求出所有驻点,对于每一个驻点
,令
1若
,函数有极小值,
若
,函数有极大值;
2若
,函数没有极值;
3若
,不定。
2)条件极值:
在条件
下的极值
令:
———Lagrange函数
2、几何应用
1)曲线的切线与法平面
曲线
上一点
(对应参数为
)处的
切线方程为:
法平面方程为:
2)曲面的切平面与法线
曲面
处的切平面方程为:
法线方程为:
第十章重积分
(一)二重积分
1、定义:
2、性质:
(6条)
3、几何意义:
曲顶柱体的体积。
4、计算:
1)直角坐标
2)极坐标
(二)三重积分
3、计算:
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
2)柱面坐标
3)球面坐标
的面积:
第十一章曲线积分与曲面积分
(一)对弧长的曲线积分
3)在
上,若
4)
(l为曲线弧L的长度)
在曲线弧
上有定义且连续,
的参数方程为
在
上具有一阶连续导数,且
(二)对坐标的曲线积分
设L为
面内从A到B的一条有向光滑弧,函数
在L上有界,定义
.
向量形式:
用
表示
的反向弧,则
在有向光滑弧
上有定义且连续,
4、两类曲线积分之间的关系:
设平面有向曲线弧为
上点
处的切向量的方向角为:
则
(三)格林公式
1、格林公式:
设区域D是由分段光滑正向曲线L围成,函数
在
D上具有连续一阶偏导数,则有
2、
为一个单连通区域,函数
上具有连续一阶偏导数,则
曲线积分
内与路径无关
曲线积分
内为某一个函数
的全微分
(四)对面积的曲面积分
为光滑曲面,函数
是定义在
上的一个有界函数,
定义
2、计算:
———“一单二投三代入”
(五)对坐标的曲面积分
1、预备知识:
曲面的侧,曲面在平面上的投影,流量
2、定义:
为有向光滑曲面,函数
上的有界函数,定义
同理,
3、性质:
表示与
取相反侧的有向曲面,则
——“一投二代三定号”
上具有一阶连续偏导数,
上连续,则
为上侧取“+”,
为下侧取“-”.
5、两类曲面积分之间的关系:
为有向曲面
在点
处的法向量的方向角。
(六)高斯公式
1、高斯公式:
设空间闭区域
由分片光滑的闭曲面
所围成,
的方向取外侧,函数
上有连续的一阶偏导数,则有
或
2、通量与散度
通量:
向量场
通过曲面
指定侧的通量为:
散度:
(七)斯托克斯公式
1、斯托克斯公式:
设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,
在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,则有
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:
2、环流量与旋度
环流量:
沿着有向闭曲线的环流量为
旋度:
第十二章无穷级数
(一)常数项级数
1)无穷级数:
部分和:
正项级数:
交错级数:
2)级数收敛:
存在,则称级数
收敛,否则称级数
发散
3)条件收敛:
收敛,而
发散;
绝对收敛:
收敛。
1)改变有限项不影响级数的收敛性;
2)级数
收敛,则
收敛;
3)级数
收敛,则任意加括号后仍然收敛;
4)必要条件:
级数
收敛
.(注意:
不是充分条件!
)
3、审敛法
1)定义:
存在;
有界;
3)比较审敛法:
为正项级数,且
发散,则
发散.
4)比较法的推论:
为正项级数,若存在正整数
,当
时,
,而
若存在正整数
发散.
5)比较法的极限形式:
为正项级数,若
6)比值法:
为正项级数,设
,则当
时,级数
则当
当
可能收敛也可能发散.
7)根值法:
8)极限审敛法:
,则级数
若存在
,使得
收敛.
莱布尼茨审敛法:
满足:
,且
任意项级数:
绝对收敛,则
常见典型级数:
几何级数:
p-级数:
(二)函数项级数
函数项级数
,收敛域,收敛半径,和函数;
2、幂级数:
收敛半径的求法:
,则收敛半径
3、泰勒级数
展开步骤:
(直接展开法)
1)求出
2)求出
3)写出
4)验证
是否成立。
间接展开法:
(利用已知函数的展开式)
3)
5)
6)
7)
8)
4、傅里叶级数
正交系:
函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间
上积分为零。
傅里叶级数:
系数:
2)收敛定理:
(展开定理)
设f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:
1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2)在一个周期内只有有限个极值点,
则f(x)的傅里叶级数收敛,且有
3)傅里叶展开:
①求出系数:
②写出傅里叶级数
③根据收敛定理判定收敛性。