高中数学第三章基本初等函数Ⅰ322对数函数二学案新人教B版必修1Word文件下载.docx
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对于底数0<
a<
1的对数函数，在（1，＋∞）区间内，底数越小越靠近x轴．
类型一 对数型复合函数的单调性
例1 求函数y＝log
（－x2＋2x＋1）的值域和单调区间．
反思与感悟 求复合函数的单调性要抓住两个要点：
（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；
（2）f（x），g（x）单调性相同，则f（g（x））为增函数；
f（x），g（x）单调性相异，则f（g（x））为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1 已知函数f（x）＝log
（－x2＋2x）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调性．
例2 已知函数y＝log
（x2－ax＋a）在区间（－∞，
）上是增函数，求实数a的取值范围．
反思与感悟 若a>
1，则y＝logaf（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相同，若0<
1，则y＝logaf（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相反．另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域．
跟踪训练2 若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是（ ）
A．（0,1）B．（1,3）
C．（1,3]D．[3，＋∞）
类型二 对数型复合函数的奇偶性
例3 判断函数f（x）＝ln
的奇偶性．
引申探究
若已知f（x）＝ln
为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
反思与感悟
（1）指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数（或偶函数）．
（2）含对数式的奇偶性判断，一般用f（x）±
f（－x）＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3 判断函数f（x）＝lg（
－x）的奇偶性．
类型三 对数不等式
例4 已知函数f（x）＝loga（1－ax）（a＞0，且a≠1）．解关于x的不等式：
loga（1－ax）＞f
（1）．
反思与感悟 对数不等式解法要点
（1）化为同底logaf（x）＞logag（x）；
（2）根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向；
（3）加上使对数式有意义的约束条件f（x）＞0且g（x）＞0.
跟踪训练4 已知A＝{x|log2x<
2}，B＝{x|
<
3x<
}，则A∩B等于（ ）
A.
B．（0，
）
C.
D．（－1，
1.如图所示，曲线是对数函数f（x）＝logax的图象，已知a取
，
，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（ ）
B.
C.
D.
2．如果log
x<
log
y<
0，那么（ ）
A．y<
1B．x<
1
C．1<
yD．1<
x
3．函数f（x）＝lg
（x∈R）是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
4．函数f（x）＝
的定义域为________．
5．函数f（x）＝lnx2的减区间为____________．
1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．
2．在对数函数y＝logax（a>
0，且a≠1）中，底数a对其图象的影响：
无论a取何值，对数函数y＝logax（a>
0，且a≠1）的图象均过点（1,0），且由定义域的限制，函数图象穿过点（1,0）落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax（a>
1，且a≠1）的图象绕（1,0）点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<
1时函数单调递减，当a>
1时函数单调递增．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝log2f（x）与y＝f（x）的单调区间不一定相同，因为y＝log2f（x）的定义域与y＝f（x）定义域不一定相同．
知识点二
思考 不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，
∴log2x＜log23⇔0＜x＜3.
知识点三
思考 可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．
题型探究
例1 解 设t＝－x2＋2x＋1，
则t＝－（x－1）2＋2.
∵y＝log
t为减函数，且0<
t≤2，
2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞）．
函数log
（－x2＋2x＋1）的定义域为满足－x2＋2x＋1>
0的x的取值范围，由函数y＝－x2＋2x＋1的图象知，1－
1＋
.
∵t＝－x2＋2x＋1在（1－
，1）上递增，而在（1,1＋
）上递减，而y＝log
t为减函数．
∴函数y＝log
（－x2＋2x＋1）的增区间为（1,1＋
），减区间为（1－
，1）．
跟踪训练1 解
（1）由题意得－x2＋2x>
0，∴x2－2x<
0，
∴0<
2.
当0<
2时，y＝－x2＋2x＝－（x2－2x）∈（0,1]，
∴log
（－x2＋2x）≥log
1＝0.
（－x2＋2x）的值域为[0，＋∞）．
（2）设u＝－x2＋2x（0<
2），v＝log
u，
∵函数u＝－x2＋2x在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数，v＝log
u是减函数，
∴由复合函数的单调性得到函数f（x）＝log
（－x2＋2x）在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数．
例2 解 令g（x）＝x2－ax＋a，g（x）在
上是减函数，∵0<
1，∴y＝log
g（x）是减函数，而已知复合函数y＝log
）上是增函数，
∴只要g（x）在（－∞，
）上单调递减，且g（x）>
0，x∈（－∞，
）恒成立，
即
∴2
≤a≤2（
＋1），
故所求a的取值范围是[2
，2（
＋1）]．
跟踪训练2 B
例3 解 由
>
0可得－2<
2，
所以函数的定义域为（－2,2），关于原点对称．
f（－x）＝ln
＝ln（
）－1
＝－ln
＝－f（x），
即f（－x）＝－f（x），
所以函数f（x）＝ln
是奇函数．
引申探究 解 由
0得－b<
a.
∵f（x）为奇函数，∴－（－b）＝a，即a＝b.
当a＝b时，f（x）＝ln
f（－x）＋f（x）＝ln
＋ln
＝ln
＝ln1＝0，
∴有f（－x）＝－f（x），
∴此时f（x）为奇函数．
故f（x）为奇函数时，a＝b.
跟踪训练3 解 由
－x>
0可得x∈R，
f（x）＋f（－x）＝lg（
－x）＋lg（
＋x）
＝lg[（
－x）（
＋x）]
＝lg（1＋x2－x2）＝0.
所以f（－x）＝－f（x），
所以函数f（x）＝lg（
－x）是奇函数．
例4 解 ∵f（x）＝loga（1－ax），
∴f
（1）＝loga（1－a）．
∴1－a＞0.∴0＜a＜1.
∴不等式可化为loga（1－ax）＞loga（1－a）．
∴
∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为（0,1）．
跟踪训练4 A
当堂训练
1．A 2.D 3.A 4.（0，
] 5.（－∞，0）
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