北师大版初中数学用尺规作三角形 教案Word格式文档下载.docx

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　　[过渡语]　很好!

我们学过了全等三角形,你会利用尺规作出一个三角形与已知三角形全等吗?

[设计意图]　由此激发学生学习新知的欲望,从而揭示课题.

这就是今天我们要一起探究的用尺规作三角形.

导入二:

　　[过渡语]　我们已经学习了作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角这两种作图.那么除了这些以外,还可以用尺规作哪些基本图形?

1.尺规作图的基本工具是　　　　和　　　　. 

2.用尺规作图的步骤有:

　　　　、　　　　、　　　　. 

3.如图:

已知:

线段a.求作:

一条线段,使它等于a.

作法:

（1）作射线　　　　;

（2）在射线上截取　　　　=　　　　,则线段　　　　就是所求作的线段. 

4.如图所示,已知∠AOB.求作:

一个角,使它等于∠AOB.

（2）以O为　　　　,以任意长为　　　　画弧,交OA于点C,交OB于点D;

（3）以O'

为　　　　,以　　　　的长为半径画弧,交O'

A'

于点C'

;

（4）以点C'

为圆心,以　　　　的长为半径画弧,交前弧于点D'

（5）过D'

作射线　　　　.则∠　　　　就是所求作的角. 

5.组成三角形的基本元素是　　　　和　　　　. 

6.两个三角形全等的条件是:

①　　　　（简记为　　　　）. 

②　　　　（简记为　　　　）. 

③　　　　（简记为　　　　）. 

④　　　　（简记为　　　　）. 

[设计意图]　让学生知道圆规和直尺在作图中的作用,通过简单导学案,回顾作线段和作角,进一步熟悉尺规作图的过程及其步骤,为本节课的学习作好铺垫.

　　[过渡语]　若已知三角形的两边及其夹角,如何求作这个图形呢?

探究活动1　已知三角形的两边及其夹角,求作三角形

思路一

线段a,c,∠α.

求作:

△ABC,使得BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.

[处理方式]

①在作图之前可先在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.从图中可知是两边及夹角,所以可先作一条线段等于已知线段中的任一条,然后以所作的线段为角的一边,它的一端点为角的顶点作角.使这个角等于已知角,再在角的另一边截取已知线段的另一条,最后连接,组成三角形.（还有其他方法同学们探究）

②把自己作的三角形和小组内其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.

③用　　　　证明两个三角形全等. 

【展示成果】　教师作图,生叙述作图步骤并用尺规模仿教师进行作图.

1.作一条线段BC,使BC=a.

2.以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α.

3.在射线BD上截取线段BA=c.

4.连接AC.

△ABC就是所求作的三角形.

提问:

将你所作的三角形与同伴作的三角形进行比较,它们全等吗?

为什么?

【思考】　全等,因为作的三角形与同桌所作的三角形有两边和它们的夹角分别相等.

同学们,还有没有其他的作法呢?

【思考】　有,先作一个角等于已知角,然后再在角的两条边上分别截取线段等于已知线段,从而作出三角形.

作三角形的顺序①边

夹角

边

作三角形的顺序②

【方法总结】　已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.（课件展示）

思路二

如图所示,线段a,c,∠α.

求作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.

[处理方式]　学生分析,先画出草图,然后提出问题:

（1）上面画图要求中的角是两边的夹角吗?

（2）如果先画一条边,然后再画什么?

还有其他画法吗?

最后请同学们独立画出图形,其中一名学生到黑板去板演.

参照教科书第86页作法,并模仿完成作图.

作法

示范

（1）作一条线段BC=a.

（2）以B为顶点,以BC为一边,作∠DBC=∠α.

（3）在射线BD上截取线段BA=c.

（4）连接AC.△ABC就是所求作的三角形.

将你所作的三角形剪下来,与同伴作出的三角形进行比较,它们全等吗?

你认为哪种画法较好一些?

[设计意图]　通过学生亲自动手实践,体会尺规作图的方法,并感受SAS的合理性.

探究活动2　已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形

　　[过渡语]　同学们的画法很成功,接下来的问题该如何解决呢?

∠α,∠β,线段c.

△ABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.

【思维导航】

（1）在练习本上画出所求作三角形的草图,在图上标出已知条件再作图.

（2）把自己作的三角形和其他同学所作的三角形重叠比较,看是否一样大.

（3）用　　　　证明两个三角形全等. 

[处理方式]　生独立思考,探索作图的过程,有能力作出图形的学生,要求在小组内交流,用自己的语言表述作图过程.教师参与学生的活动,并给予指导,发现不同的作图方法.

作法提示:

（学生叙述步骤;

方法不唯一）

（1）作　　　　=∠α;

（2）在射线　　　　上截取线段　　　　=c;

（3）以　　　　为顶点,以　　　　为一边,作∠　　　　=∠β,　　　　交　　　　于点　　　　,△ABC就是所求作的三角形. 

处理建议:

（1）让学生自己探究作图的方法.

（2）教师可在黑板演示,让学生按步骤进行作图,做好示范,让后进生感到“有章可循”.

（3）让学生尝试说出解题过程,教师及时规范学生的作图语言.

（4）让学生明确作图的道理,能用学过的全等知识加以说理.

[设计意图]　已知三角形的两角及夹边作三角形的方法可能是多样的,教师要注意让学生逐步了解接受作图方法,培养学生初步的作图能力.

探究活动3　已知三角形的三条边,求作这个三角形

如图所示,已知线段a,b,c.求作△ABC,使AB=c,AC=b,BC=a.

（2）学生充分交流后教师可在黑板演示,规范学生的作图语言.能用学过的全等知识加以说理.

（3）教师让学生说出画图的具体步骤,只要合理,教师都给予肯定,然后教师展示学生的不同作图方法.

（1）作一条线段BC=a;

（2）分别以B,C为圆心,以c,b为半径画弧,两弧交于A点;

（3）连接AB,AC,△ABC就是所求作的三角形.

（学生的作图方法不同,只要合理,教师都给予鼓励）

[设计意图]　学生有以前所学的基本作图为基础,进一步了解较复杂的作图题如何入手,学会转化及知识的迁移,培养学生的作图能力.大胆放开学生,相信学生.教师重点关注学生作图语言的规范表述,并给予及时恰当的引导、点拨和方法总结.

探究活动4　学以致用,应用新知

　　[过渡语]　通过刚才的学习,我们已经学会了根据已知条件画三角形,下面就让我们利用这些方法解决问题吧!

　已知:

线段a,b.

△ABC,使AB=a,BC=b,AC=2a.

[处理方式]　独立思考,动手画图,小组交流.

展示成果:

1.先画一条线段等于a,再以其两个端点为圆心,分别以2a和b的长为半径画弧,其交点就是三角形的另一个端点.

2.我认为先画一条线段等于2a较简单.

画图并展示如下:

根据以上几个问题的解决,哪位同学能说一下根据已知条件画三角形的一般步骤吗?

先画出草图,根据草图寻找作图方法.

（1）确定作图的第一步是画边还是角,有时方法不唯一,但有难易之分,要注意把握.

（2）根据确定的作图方法按步骤进行作图.

（3）必要时对自己所画的图形的正确性进行说明.

[设计意图]　用尺规作三角形的题目类型较多,要及时对学生的作图能力、分析能力进行培养.

[知识拓展]　

1.尺规作图的作法叙述必须使用规范、精炼的作图语言.

2.作图时常先假设图形已作出,再分析图形哪一部分图形先作出来,然后找出余下图形的作图方法.

1.已知三角形的两边及其夹角,求作三角形.

2.已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.

3.已知三角形的三条边,求作这个三角形.

1.利用尺规不能唯一作出的三角形是（　　）

A.已知三边

B.已知两边及夹角

C.已知两角及夹边

D.已知两边及其中一边的对角

解析:

已知两边及其中一边的对角不能说明两个三角形全等.故选D.

2.下面各组中的三条线段,能围成三角形的是（　　）

A.3厘米、2厘米、5厘米

B.4厘米、3厘米、8厘米

C.9厘米、3厘米、3厘米

D.5厘米、5厘米、4厘米

A.因为3+2=5,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;

B.因为4+3=7,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;

C.因为3+3=6,不满足三角形任意两边之和大于第三边,所以这三条线段不能组成三角形,不合题意;

D.满足三角形任意两边之和大于第三边,能组成三角形,符合题意.故选D.

3.已知:

线段a,b,求作:

等腰三角形ABC,使AB=BC=a,AC=b.

解:

如图所示.①作射线AD,在射线AD上截取AC=b.②分别以A,C为圆心,a为半径作弧,两弧交AC上方于点B.③连接AB,BC.△ABC即为所求.

4.如图所示,已知∠α和线段a,用尺规作一个三角形,使一个内角等于∠α,另一个内角等于2∠α.且这两角的夹边等于2a.

如图所示,

（1）画∠CAB=∠α;

（2）画AB=2a;

（3）画∠CBA=2∠α;

△ABC为所求三角形.

例题

一、教材作业

【必做题】

教材第107页习题4.9数学理解第1,2,3题.

【选做题】

教材第107页习题4.9问题解决第4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列尺规作图的语句错误的是（　　）

A.作∠AOB,使∠AOB=3∠α

B.以点O为圆心作弧

C.以点A为圆心,线段a的长为半径作弧

D.作∠ABC,使∠ABC=∠α+∠β

2.如图所示,过点P画直线a的平行线b的作法的依据是（　　）

A.两直线平行,同位角相等

B.同位角相等,两直线平行

C.两直线平行,内错角相等

D.内错角相等,两直线平行

3.如图所示,点