人教版九级上册数学课本知识点归纳文档格式.docx

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0时，方程没有实数根。

3、配方法：

配方法的理论根据是完全平方公式

，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有

。

配方法解一元二次方程的步骤是：

①移项、②配方（写成平方形式）、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。

4、公式法：

公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程

的求根公式：

当

>

0时，方程有两个实数根。

=0时，方程有两个相等实数根。

＜0时，方程没有实数根。

5、因式分解法：

先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式：

中，

叫做一元二次方程

的根的判别式，通常用“

”来表示，即

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程

的两个实数根是

，由求根公式

可算出

第22章二次函数

1、理解二次函数的概念

2、学会画二次函数的图象

3、掌握二次函数的性质

4、学会函数图象的平移

5、能够运用二次函数解决实际问题

1、二次函数的解析式

①一般式：

（a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。

②顶点式：

③交点式（与x轴）：

2、抛物线的性质

①二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

②a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>

0时，开口方向向上，a<

0时，开口方向向下。

a还可以决定开口大小,a越大开口就越小,a越小开口就越大。

③抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线

.

④对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

⑤抛物线有一个顶点P，坐标为P（

）

时，P在y轴上；

时，P在x轴上。

⑥二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；

当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

⑦一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

Ⅰ.当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是

-b/2a<

0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

Ⅱ.当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是

-b/2a>

0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

事实上，b有其自身的几何意义：

抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

⑧常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

⑨二次函数的增减性

抛物线

，若a>

0，当

时，y随x的增大而减小；

时，y随x的增大而增大．若a<

时，y随x的增大而增大；

时，y随x的增大而减小．抛物线

的最值：

如果a>

0（a<

0），则当

时，y最小（大）值=

．

3、二次函数

（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

时

开口向上

开口向下

（

轴）

（0,0）

（0,

0）

4、二次函数与一元二次方程

二次函数（以下称函数）

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即

）此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根；

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

的图象与坐标轴的交点：

Δ＞0，图象与x轴交于两点：

，0）和（

，0）；

Δ＝0，图象与x轴交于一点：

Δ＜0，图象与x轴无交点；

5．用待定系数法求二次函数的解析式

（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

6．二次函数的应用

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．

第23章旋转

1、理解旋转、旋转中心、旋转角、中心对称的概念

2、学会找旋转角及画中心对称图形

3、掌握中心对称的性质

4、学会关于原点对称的点的坐标

5、了解图形旋转的应用

一、旋转

1、定义：

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

⑶旋转前后的图形全等。

二、中心对称

把一个图形绕着某一个点旋转180°

，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定：

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形：

把一个图形绕某一个点旋转180°

，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。

5、关于原点对称的点的特征：

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

6、关于x轴对称的点的特征：

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）。

7、关于y轴对称的点的特征：

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）。

第24章圆

一、学习目标

1、理解圆的几何定义与圆有关的概念

2、掌握垂径定理、切线的判定定理、切线长定理以及圆周角定理

3、学会判断点、直线、圆与圆的位置关系

4、会计算弧长、扇形的面积及圆锥的侧面积和全面积

一、圆的相关概念

1、圆的定义：

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）

（2）直径：

经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）半圆：

圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“

”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；

小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）

三、垂径定理及其推论

1．垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

四、圆的对称性

1、圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性：

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

1、圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距：

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

六、圆周角定理及其推论

1、圆周角：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

90°

的圆周角所对的弦是直径。

推论3：

如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

七、点和圆的位置关系

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

d<

r

点P在⊙O内；

d=r

点P在⊙O上；

d>

点P在⊙O外。

八、过三点的圆

1、过三点的圆：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆：

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

3、三角形的外心：

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）：

圆内接四边形对角互补。

九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

（3）相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

直线l与⊙O相交

r；

直线l与⊙O相切

d=r；

直线l与⊙O相离

十一、切线的判定和性质

1、切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理：

圆的切线垂直于经过切点的半径。

十二、切线长定理

1、切线长：

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆

1、三角形的内切圆：

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内