数学文高考试题分类汇编B单元 函数与导数Word文档下载推荐.docx

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（3）令g（n）为这个数中数字0的个数，f（n）为这个数中数字9的个数，h（n）＝f（n）－g（n），S＝{n|h（n）＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p（n）的最大值．

21．解：

（1）当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p（100）＝.

（2）F（n）＝

（3）当n＝b（1≤b≤9，b∈N*），g（n）＝0；

当n＝10k＋b（1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N）时，g（n）＝k；

当n＝100时，g（n）＝11，即g（n）＝

1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，

同理有f（n）＝

由h（n）＝f（n）－g（n）＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，

所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．

当n＝9时，p（9）＝0.

当n＝90时，p（90）＝＝＝.

当n＝10k＋9（1≤k≤8，k∈N*）时，p（n）＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9（1≤k≤8，k∈N*）时，p（n）的最大值为p（89）＝.

又<

，所以当n∈S时，p（n）的最大值为.

3．[2014·

山东卷]函数f（x）＝的定义域为（　　）

A．（0，2）B．（0，2]

C．（2，＋∞）D．[2，＋∞）

3．C　

B2反函数

5．[2014·

全国卷]函数y＝ln（＋1）（x＞－1）的反函数是（　　）

A．y＝（1－ex）3（x＞－1）

B．y＝（ex－1）3（x＞－1）

C．y＝（1－ex）3（x∈R）

D．y＝（ex－1）3（x∈R）

5．D　

B3函数的单调性与最值

2．B　

4．、[2014·

湖南卷]下列函数中，既是偶函数又在区间（－∞，0）上单调递增的是（　　）

A．f（x）＝B．f（x）＝x2＋1

C．f（x）＝x3D．f（x）＝2－x

4．A　

19．、、、[2014·

江苏卷]已知函数f（x）＝ex＋e－x，其中e是自然对数的底数．

（1）证明：

f（x）是R上的偶函数．

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e－x＋m－1在（0，＋∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

（3）已知正数a满足：

存在x0∈[1，＋∞），使得f（x0）<

a（－x＋3x0）成立．试比较ea－1与ae－1的大小，并证明你的结论．

19．解：

（1）证明：

因为对任意x∈R，都有f（－x）＝e－x＋e－（－x）＝e－x＋ex＝f（x），

所以f（x）是R上的偶函数．

（2）由条件知m（ex＋e－x－1）≤e－x－1在（0，＋∞）上恒成立．

令t＝ex（x>

0），则t>

1，所以m≤－＝

－对任意t>

1成立．

因为t－1＋＋1≥2＋1＝3,所以－≥－，

当且仅当t＝2,即x＝ln2时等号成立．

因此实数m的取值范围是.

（3）令函数g（x）＝ex＋－a（－x3＋3x），则g′（x）＝ex－＋3a（x2－1）．

当x≥1时，ex－>

0，x2－1≥0.又a>

0，故g′（x）>

0，所以g（x）是[1，＋∞）上的单调递增函数，因此g（x）在[1，＋∞）上的最小值是g

（1）＝e＋e－1－2a.

由于存在x0∈[1，＋∞），使ex0＋e－x0－a（－x＋3x0）<

0成立，当且仅当最小值g

（1）<

0，

故e＋e－1－2a<

0,即a>

.

令函数h（x）＝x－（e－1）lnx－1，则h′（x）＝1－.令h′（x）＝0,得x＝e－1.

当x∈（0，e－1）时，h′（x）<

0，故h（x）是（0，e－1）上的单调递减函数；

当x∈（e－1，＋∞）时，h′（x）>

0，故h（x）是（e－1，＋∞）上的单调递增函数．

所以h（x）在（0，＋∞）上的最小值是h（e－1）．

注意到h

（1）＝h（e）＝0，所以当x∈（1，e－1）⊆（0，e－1）时，h（e－1）≤h（x）<

h

（1）＝0；

当x∈（e－1，e）⊆（e－1，＋∞）时，

h（x）<

h（e）＝0.

所以h（x）<

0对任意的x∈（1，e）成立．

故①当a∈⊆（1，e）时，h（a）<

即a－1<

（e－1）lna，从而ea－1<

ae－1；

②当a＝e时，ea－1＝ae－1；

③当a∈（e，＋∞）⊆（e－1，＋∞）时，h（a）>

h（e）＝0，即a－1>

（e－1）lna，故ea－1>

ae－1.

综上所述，当a∈时，ea－1<

当a＝e时，ea－1＝ae－1；

当a∈（e，＋∞）时，ea－1>

15．、、[2014·

四川卷]以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：

对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1（x）＝x3，φ2（x）＝sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B.现有如下命题：

①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）＝b”；

②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；

③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）＋g（x）∈/B；

④若函数f（x）＝aln（x＋2）＋（x＞－2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B.

其中的真命题有________．（写出所有真命题的序号）

15．①③④　

21．、[2014·

四川卷]已知函数f（x）＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f

（1）＝0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：

e－2＜a＜1.

（1）由f（x）＝ex－ax2－bx－1，得g（x）＝f′（x）＝ex－2ax－b，所以g′（x）＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′（x）∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上单调递增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当a≥时，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上单调递减，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g

（1）＝e－2a－b；

当＜a＜时，令g′（x）＝0，得x＝ln（2a）∈（0，1），

所以函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增，

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b.

综上所述，当a≤时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）＝1－b；

当＜a＜时，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））＝2a－2aln（2a）－b；

当a≥时，g（x）在[0，1]上的最小值是g

（1）＝e－2a－b.

（2）证明：

设x0为f（x）在区间（0，1）内的一个零点，则由f（0）＝f（x0）＝0可知，

f（x）在区间（0，x0）上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g（x）不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g（x）在区间（0，x0）内存在零点x1.

同理g（x）在区间（x0，1）内存在零点x2.故g（x）在区间（0，1）内至少有两个零点．

由

（1）知，当a≤时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）在（0，1）内至多有一个零点；

当a≥时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）在（0，1）内至多有一个零点，都不合题意．

所以＜a＜.

此时g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间（ln（2a），1]上单调递增．

因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有

g（0）＝1－b＞0，g

（1）＝e－2a－b＞0.

由f

（1）＝0有a＋b＝e－1<

2，有

g（0）＝a－e＋2>

0，g

（1）＝1－a>

0.

解得e－2＜a＜1.

所以，函数f（x）在区间（0，1）内有零点时，e－2＜a＜1.

B4函数的奇偶性与周期性

4．[2014·

重庆卷]下列函数为偶函数的是（　　）

A．f（x）＝x－1B．f（x）＝x2＋x

C．f（x）＝2x－2－xD．f（x）＝2x＋2－x

4．D　

14.　

广东卷]下列函数为奇函数的是（　　）

A．2x－B．x3sinx

C．2cosx＋1D．x2＋2x

5．A　

9．、[2014·

湖北卷]已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为（　　）

A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}

C．{2－，1，3}D．{－2－，1，3}

9．D　

15．[2014·

湖南卷]若f（x）＝ln（e3x＋1）＋ax是偶函数，则a＝________．

15．－　

0成立