全国百强校顶尖名校湖南师大附中届高三第二次月考试题 理科数学Word文件下载.docx

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<

C<

180°

，则C＝30°

.

3．已知随机变量X服从正态分布N（5，σ2），且P（X<

7）＝0.8，则P（3<

X<

5）＝（C）

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【解析】由题意，随机变量X服从正态分布N（5，σ2），所以正态曲线的对称轴为x＝5，

因为P（X<

7）＝0.8，所以P（X≥7）＝0.2，根据正态分布曲线的对称性可知，所以P（3<

5）＝0.5－0.2＝0.3，故选C.

4．已知数列是首项为3，公差为d（d∈N*）的等差数列，若2019是该数列的一项，则公差d不可能是（D）

A．2B．3C．4D．5

【解析】由题设，an＝3＋（n－1）d，2019是该数列的一项，即2019＝3＋（n－1）d，所以n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2016的约数，故d不可能是5，故选D.

5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n的值为（参考数据：

≈1.732，sin15°

≈0.2588，sin7.5°

≈0.1305）（B）

A．12B．24C．48D．96

【解析】执行程序：

n＝6，S＝3sin60°

＝，不满足条件S≥3.10；

n＝12，S＝6sin30°

＝3，不满足条件S≥3.10；

n＝24，S＝12sin15°

≈12×

0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环．

输出n的值为24.故选B.

6．设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的取值范围是（C）

A．[2，8]B．[4，8]C．[0，8]D．[8，＋∞）

【解析】作出约束条件对应的可行域如图，z＝|x－3y|＝，其中表示可行域内的点（x，y）到直线x－3y＝0的距离，由图可知，点A（－2，2）到直线x－3y＝0的距离最大，最大为；

又距离最小显然为0，所以z＝|x－3y|的取值范围为[0，8]，故选C.

7.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k＝（B）

A．6B．7C．6或7D．5或6

【解析】∵的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n＝4＋7＝11，第r＋1项系数为Tr＋1＝C（－1）r，r＝6时Tr＋1最大，故展开式中系数最大的项为第7项．

8．如图直角坐标系中，角α和角β的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△OAB＝，则sin的值为（A）

A.B.C．－D．－

【解析】由图知∠xOA＝α，∠xOB＝－β，且sinβ＝－.

由于S△OAB＝知∠AOB＝，即α－β＝，即α＝β＋.则

sin＝sin＝cosβ＝＝.故选A.

9．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是（A）

A.＋3B.＋3

C.D.

【解析】几何体为圆锥挖掉个圆台.其表面积为：

S表＝π×

22＋π×

12＋×

×

4＋×

2＋×

2＝＋3.故选A.

10．将函数f（x）＝ln（x＋1）（x≥0）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（θ∈（0，α]），得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为（D）

A．πB.C.D.

【解析】函数f（x）＝ln（x＋1）（x≥0）的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.因为f′（x）＝在[0，＋∞）是减函数且0<

f′（x）≤1，当且仅当x＝0时等号成立，故函数f（x）＝ln（x＋1）（x≥0）的图像的切线中，在x＝0处切线的倾斜角最大，其值为.由此可知αmax＝－＝，故选D.

11．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为3，则|AB|的最大值为（C）

A．4B．6C．8D．10

【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，所以|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8，

当弦AB过焦点F（1，0）时取得最大值8.故选C.

12．在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内（包括边界）的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P－BCD的体积最大值是（D）

A．36B．24C．18D．12

【解析】易知△APD∽△MPC，则＝＝2，欲使三棱锥P－BCD的体积最大，只需高最大，通过坐标法得到动点P运动轨迹（一段圆弧），进而判断高的最大值2，所以（VP－BCD）max＝×

2＝12.

二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知x∈R，复数z1＝1＋xi，z2＝2＋i，若为纯虚数，则实数x的值为__－2__．

【解析】＝＝＝＋i为纯虚数，则＝0，即x＝－2.

14.M、N分别为双曲线－＝1左、右支上的点，设v是平行于x轴的单位向量，则的最小值为__6__．

【解析】由向量数量积的定义，·

v即向量在向量v上的投影与v模长的乘积，故求的最小值，即求在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图像可知的最小值为6.

15．某单位周一至周五要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，则甲连续值两天班的概率为____．

【解析】记甲连续值2天班为事件A，每人至少值一天班记为事件B.

则m（A）＝4A＝24，m（B）＝CA＝240，则P（A＋B）＝＝.

16．已知函数f（x）＝，关于x的不等式f2（x）－af（x）>

0只有2个整数解，则实数a的取值范围是____．

【解析】作出函数f（x）的图像：

①若a>

0，由f2（x）－af（x）>

0，可得f（x）<

0或f（x）>

a，显然f（x）<

0没有整数解，则f（x）>

a有2个整数解，由图可知：

≤a<

ln2；

②若a<

－a或f（x）>

0，显然f（x）<

－a没有整数解，而f（x）>

0有无数多个整数解，不符题意，舍去；

③若a＝0，由f2（x）－af（x）>

0，可得f（x）≠0，有无数多个整数解，不符题意，舍去．

综上可知：

a∈.

三、解答题：

共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：

60分．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝（λ＋1）Sn＋1（n∈N*，λ≠－2），且3a1，4a2，a3＋13成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足anbn＝log4an＋1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：

Tn<

【解析】

（1）因为an＋1＝（λ＋1）Sn＋1，①

所以当n≥2时，an＝（λ＋1）Sn－1＋1，②

由①－②得an＋1－an＝（λ＋1）an，即an＋1＝（λ＋2）an（n≥2），2分

又因为λ≠－2，且a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，λ＋2为公比的等比数列，

故a2＝λ＋2，a3＝，

由题知8a2＝3a1＋a3＋13，所以8＝＋16，

整理得λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2，4分

所以an＝4n－1.6分

（2）因为anbn＝log4an＋1，即4n－1·

bn＝log44n，

所以bn＝，8分

则Tn＝1＋＋＋…＋＋，③

Tn＝＋＋…＋＋，④

③－④得Tn＝1＋＋＋…＋－＝－，

Tn＝－，11分

又n∈N*，所以Tn<

.12分

18．（本小题满分12分）

如图，α∩β＝l，二面角α－l－β的大小为θ，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB＝2，AA1＝1，BB1＝.

（1）若θ＝120°

，求直线AB与平面β所成角的正弦值；

（2）若θ＝90°

，求二面角A1－AB－B1的余弦值．

【解析】

（1）如图，过点A作平面β的垂线交于点G，连接GB、GA1，

因为AG⊥β.则∠ABG是AB与β所成的角．

Rt△GA1A中，GA1A＝60°

，AA1＝1,∴AG＝.

Rt△AGB中，AB＝2，AG＝，sin∠ABG＝，

故AB与平面β所成的角的正弦值为.5分

（2）解法一：

∵BB1⊥α，∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB,∴∠A1FE就是所求二面角的平面角．

在Rt△ABB1中，∠BAB1＝45°

，∴AB1＝B1B＝.∴Rt△AA1B中，A1B＝＝＝.由AA1·

A1B＝A1F·

AB得A1F＝＝＝，

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE＝＝，

∴二面角A1－AB－B1的余弦值为cosθ＝＝.12分

解法二：

如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）．在AB上取一点F（x，y，z），则存在t∈R，使得＝t，即（x，y，z－1）＝t（，1，－1）,∴点F的坐标为（t,t，1－t）．要使⊥，须·

＝0,即（t,t，1－t）·

（，1，－1）＝0,2t＋t－（1－t）＝0，解得t＝，∴点F的坐标为，∴＝.设E为AB1的中点，则点E的坐标为.∴＝.

又·

＝·

（，1，－1）＝－－＝0,∴⊥，∴∠A1FE为所求二面角的平面角．

又cos∠A1FE＝＝＝＝＝，

∴二面角A1－AB－B1的余弦值为.12分

19．（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k≥85时，产品为一级品；

当75≤k<

85时，产品为二级品，当70≤k<

75时，产品为三级品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：

（以下均视频率为概率）

A配方的频数分配表：

指标值分组

频数

10

30

40

20

B配方的频数分配表：

5

15

25

（1）若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C发生的概率P（C）；

（2）若两种新产品的利润率y与质量指标k满足如下关系：

y＝其中0<

t<

，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？

（1）由题意知，从B配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，所以P（C）＝1－＝.5分

（2）A配方产品的利润分布列为

y

t

5t2

p

0.6

0.4

所以E（y）A＝0.6t＋2t2，8分

B配方产品的利