412 指数幂的拓展Word格式文档下载.docx
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0，s，t∈Q）.
3.无理数指数幂
一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
分数指数幂与根式有什么关系？
（1）与根式的关系：
分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.
（2）底数的取值范围：
由分数指数幂的定义知a≤0时，a
可能会没有意义.当a
有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.
自主检验
1.思考辨析，判断正误
（1）（－2）
＝（－2）
.（×
）
提示 （－2）
>
0，而（－2）
无意义，故错误.
（2）a2·
＝a.（×
提示 a2·
＝a
.
（3）2
∈R.（√）
（4）3－
＝－
提示 3－
2.将
化为分数指数幂为（ ）
A.2
B.－2
C.2－
D.－2－
答案 B
解析
＝－2
3.2－
等于（ ）
A.
B.
C.－
D.
答案 D
解析 2－
4.化简27
＝________.
答案 9
解析 27
＝（33）
＝33×
＝32＝9.
题型一 根式与分数指数幂的互化
角度1 分数指数幂化根式
【例1－1】 用根式的形式表示下列各式（x>
0）.
（1）x
；
（2）x－
解
（1）x
角度2 根式化分数指数幂
【例1－2】 把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>
0.
（1）
（2）
（3）
（4）
解
（1）
＝a－
＝b
b
＝a3.
思维升华 根式与分数指数幂互化的规律
（1）根指数化为分数指数的分母，
被开方数（式）的指数化为分数指数的分子.
（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.
【训练1】 用分数指数幂表示下列各式：
0）；
＝1.
题型二 有理数指数幂的运算
【例2】 计算下列各式：
＋0.1－2＋
－3π0＋
－
＋
－π0.
解
（1）原式＝
＋102＋
－3＋
＋100＋
＝100.
（2）原式＝
－1＝
－1＝3.
思维升华 1.有理数指数幂运算的常用技巧
（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.
（3）底数是小数，先要化成分数；
底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则.
2.根式化简的步骤
（1）将根式化成分数指数幂的形式.
（2）运用分数指数幂的运算法则求解.
3.对于化简或求值结果的要求
对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；
在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.
【训练2】
（1）
（2）计算下列各式（式中字母均为正数）：
①
·
②0.064－
＋16－0.75.
（1）答案
（2）解 ①原式＝
x－
＋（－1）＋
y
②原式＝0.4－1－1＋（－2）－4＋2－3＝
－1＋
题型三 用乘法公式化简含指数幂的代数式
【例3】
（1）若x
－x－
＝1，则x＋x－1＝________；
x2＋x－2＝________.
（2）化简：
÷
（1）答案 3 7
解析 将x
＝1两边平方得x＋x－1－2＝1，则x＋x－1＝3.
将x＋x－1＝3两边平方得x2＋x－2＋2＝9，所以x2＋x－2＝7.
（2）解 原式＝
＝a.
思维升华 引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方和与差、完全平方公式就有了新的形式，被赋予了新的活力，如a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2），a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）这两个公式用分数指数幂表示就是a±
b＝
，再如a－b＝
，a±
2a
＋b＝
等，巧用这些公式的变形，可将所求代数式恰当地变形构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入”巧妙地求出代数式的值.
【训练3】
（1）已知a＝－
，b＝
，则
（2）已知x
＋x－
＝3，求
的值.
解析 原式＝
由题意得a
，∴a
.∴原式＝
（2）解 由x
＝3，得
＝9，即x＋2＋x－1＝9，∴x＋x－1＝7.两边平方得x2＋2＋x－2＝49，
∴x2＋x－2＝47.
∴
＝9.
1.掌握2个知识点
（1）分数指数幂的意义；
（2）分数指数幂的运算性质.
2.掌握2种方法
（1）对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律.
（2）解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”.
3.规避1个易错点
在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
一、选择题
1.若（1－2x）－
有意义，则x的取值范围是（ ）
A.RB.
∪
C.
解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>
0，解得x<
2.化简[
]
的结果为（ ）
A.5B.
D.－5
解析 [
＝（
＝5
×
3.
＋（－1）－1÷
0.75－2＋
＝（ ）
B.
C.－
D.－
答案 A
－1÷
4.化简（
）4·
（
）4的结果是（ ）
A.a16B.a8C.a4D.a2
答案 C
＝a2·
a2＝a4.
5.（多选题）下列各式中一定成立的有（ ）
＝n7m
B.
＝（x＋y）
答案 BD
解析 A中应为
＝n7m－7；
，B正确；
C中当x＝y＝1时，等式不成立；
D正确.故选BD.
二、填空题
6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________.
答案
解析 32a－b＝
7.设a>
0，将
表示成分数指数幂的形式，其结果是________.
答案 a
＝a2a－
＝a2－
8.2－
8
答案 2
－3
＋1－22＝2
－3.
三、解答题
9.求下列各式的值：
＝3
－5
10.计算：
（1）（
－1）0＋
＋（
）－
（2）0.027－
＋2560.75－
解
（1）原式＝1＋
＝1＋
＝2.
（2）原式＝（0.33）－
＋（44）
＋1
－36＋64－
＋1＝32.
11.已知m＝2，n＝3，则
的值是________.
解析 因为m＝2，n＝3，
所以原式＝
＝（m
n－
m－1n
）3＝mn－3＝2×
3－3＝
12.已知
a＋b＝1，则
答案 3
a＋b＝31＝3.
13.
（1）已知2x＋2－x＝a（常数），求16x＋16－x的值；
（2）已知x＋y＝12，xy＝9且x<
y，求
解
（1）∵4x＋4－x＝（2x）2＋（2－x）2＝（2x＋2－x）2－2·
2x·
2－x＝a2－2，∴（4x＋4－x）2＝16x＋16－x＋2＝（a2－2）2＝a4－4a2＋4，∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.
.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝122－4×
9＝108.
又∵x<
y，∴x－y＝－6
.③
将②③代入①，得
14.对于正整数a，b，c（a≤b≤c）和非零实数x，y，z，w有ax＝by＝cz＝70w，且
，求a，b，c的值.
解 ∵ax＝70w且x，w为非零实数，
∴（ax）
＝（70w）
＝70
同理可得b
，c
，
即（abc）
a，b，c均为正整数，∴abc＝70＝2×
5×
7，
又a，b，c为正整数且a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7.
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