数学江苏省盐城市学年高二下学期期末考试文档格式.docx

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10．（理科学生做）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为▲种．（用数字作答）

（文科学生做）若，，则▲．

11．已知对任意正实数，，，都有，类比可得对任意正实数，，，，，都有▲．

12．若函数在和时取极小值，则实数的取值范围是▲．

13．若方程有实根，则实数的取值范围是▲．

14．若，且，则的最大值为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表，数学期望.

（1）求和的值；

（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分大于0的次数为，求的概率分布与数学期望.

X

3

6

（文科学生做）已知集合，，

.

（1）求；

（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.

16．（本小题满分14分）

（理科学生做）如图，在正四棱柱中，，，点是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

（第16题理科图）

（文科学生做）已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的值；

（2）设函数，求在上的单调递减区间.

17．（本小题满分14分）

（理科学生做）已知数列满足，（）．

（1）求，，并猜想的通项公式；

（2）用数学归纳法证明

（1）中所得的猜想．

（文科学生做）已知数列满足.

（1）求，，的值，猜想并证明的单调性；

（2）请用反证法证明数列中任意三项都不能构成等差数列．

18．（本小题满分16分）

直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，直线与椭圆相交于两点，且线段被直线平分.

①求直线的斜率；

②若，求直线的方程.

19．（本小题满分16分）

如图是一个路灯的平面设计示意图，其中曲线段可视为抛物线的一部分，坐标原点为抛物线的顶点，抛物线的对称轴为轴，灯杆可视为线段，其所在直线与曲线所在的抛物线相切于点.已知分米，直线轴，点到直线的距离为8分米.灯杆部分的造价为10元/分米；

若顶点到直线的距离为t分米，则曲线段部分的造价为元.设直线的倾斜角为，以上两部分的总造价为S元.

（1）①求t关于x的函数关系式；

②求S关于x的函数关系式；

（2）求总造价S的最小值.

20．（本小题满分16分）

设函数的导函数为.若不等式对任意实数恒成立，则称函数是“超导函数”.

（1）请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；

（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在上单调递增，另一个在上单调递减，求证：

函数是“超导函数”；

（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.

参考答案

本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.2.3.真4.

5.6.7.8.

9.（理）（文）10.（理）（文）

11.12.13.

14.

二、解答题

15．（理科）解：

（1）因为，所以，

即．①……………………………2分

又，得．②………4分

联立①，②解得，．………6分

（2），依题意知，

故，，

，．…………………………10分

故的概率分布为

的数学期望为．……………………………………………………14分

（文科）解：

（1）,………………2分

．………………………4分

则…………………

（2），

因为“”是“”的必要不充分条件，

所以且．………………10分

由，得，解得．……………12分

经检验，当时，成立，

故实数的取值范围是．………14分

16．（理科）解：

在正四棱柱中，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系．

因为，，，

所以，，……………………………………………………………2分

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为．…………6分

（2），设平面的一个法向量为．

则，得，取，得，，

故平面的一个法向量为．…………10分

于是，

所以直线与平面所成角的正弦值为．…………14分

（1）由图形易得，

，解得，…………………2分

此时．

因为的图象过，

所以，得．………………………………4分

因为，所以，

所以，得．

综上，，．……………………………6分

（2）由

（1）得．……10分

由，解得，其中．

取，得，

所以在上的单调递减区间为．………………………14分

17（理科）

（1），猜想.………………6分

（2）当时，命题成立；

……………8分

假设当时命题成立，即，……………10分

故当时，，

故时猜想也成立.…………………12分

综上所述，猜想成立，即.………………14分

（文科）

（1）计算得，猜想该数列为单调递减数列…2分

下面给出证明：

，

因为，故，所以恒成立，即数列为单调递减数列.……6分

（2）假设中存在三项成等差数列，不妨设为这三项，……8分

由

（1）证得数列为单调递减数列，则，即，

两边同时乘以，则等式可以化为，（※）……………12分

因为，所以均为正整数，故与为偶数，

而为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立，

所以假设不成立，故数列中任意三项都不能构成等差数列．…14分

18．

（1）由可得，…………………2分

设椭圆方程为，代入点，得，

故椭圆方程为：

.……………4分

（2）①由条件知，

设，则满足，，

两式作差得：

，…………6分

化简得，

因为被平分，故，

所以，即直线的斜率.………10分

②设直线为，代入椭圆方程可得，（＃）

所以，，

，……………12分

故

…………14分

解得，此时方程（＃）中，

故所求直线方程为.…………16分

19.解：

（1）①设曲线段所在的抛物线的方程为，将代入得，故抛物线的方程为，求导得，故切线的斜率为，而直线的倾斜角为，故，t关于的函数关系为.………………………………2分

②因为，所以曲线段部分的造价为元，

因为点到直线的距离为8分米，直线的倾斜角为，故，部分的造价为，

得两部分的总造价为，.……6分

（2），…………………8分

其中恒成立，令得，设且为角，…10分

列表如下：

极小

…………………………………12分

故当时有最小值，此时，，，…………………………14分

故总造价S的最小值为元.……16分

20.解：

（1）举例：

函数是“超导函数”，

因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.……4分

注：

答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.

（2）∵，∴，

∴

…………………………6分

因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①…………8分

而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②

由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.……10分

（3）∵，所以方程可化为，

设函数，，则原方程即为，③……………………………12分

因为是“超导函数”，∴对任意实数恒成立，

而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，

故方程③等价于，即，…………14分

设，，则在上恒成立，

故在上单调递增，

而，，且函数的图象在上连续不断，

故在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.

……………………………16分