备战初中数学考点剖析30讲第25讲与圆有关的位置关系Word格式.docx

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类型一：

点与圆的位置关系

【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（　　）

A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内

C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内

解析：

画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP中，DP＝＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝＝9.

∵PC＞DP，BP＜DP，∴点B在圆P内，点C在圆P外．

答案：

C

归纳总结：

解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系．

类型二：

切线的性质与判定

【例2】

（2018•泸州）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　）

A．3B．2C．D．

【分析】如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，先利用一次解析式得到D（0，2），C（﹣2，0），再利用勾股定理可计算出CD=4，则利用面积法可计算出OH=，连接OA，如图，利用切线的性质得OA⊥PA，则PA=，然后利用垂线段最短求PA的最小值．

【解答】解：

如图，直线y=x+2与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，

当x=0时，y=x+2=2，则D（0，2），

当y=0时，x+2=0，解得x=﹣2，则C（﹣2，0），

∴CD==4，

∵OH•CD=OC•OD，

∴OH==，

连接OA，如图，

∵PA为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，

∴PA==，

当OP的值最小时，PA的值最小，

而OP的最小值为OH的长，

∴PA的最小值为=．

故选：

D．

1.切线的常用判定方法有两种：

一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；

二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；

当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．

2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．

类型三：

三角形的内切圆

【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=6，BC=8.则△ABC的内切圆半径r=______.

在Rt△ABC中，AB＝＝＝10.

∵S△ACB＝AC·

BC＝×

6×

8＝24，

∴r＝＝＝2.

2

三角形的内切圆半径r＝，其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边长．

类型四：

圆与圆的位置关系

【例4】在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是（　　）

A．外切B．内切C．相交D．外离

如图所示，由勾股定理可得AB＝＝＝5（cm），

∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，

∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．

A

圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；

两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；

有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可．

【真题评价】

1.（2018•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°

，则∠BOD等于（　　）

A．40°

B．50°

C．60°

D．80°

2.（2018•深圳）如图，一把直尺，60°

的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°

角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（　　）

A．3B．C．6D．

3.（2018•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（　　）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

4.（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　．

5.（2018•天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°

，

（I）如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；

（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

6.（2018•南充）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=4．

（1）求证：

PC是⊙O的切线．

（2）求tan∠CAB的值．

【参考答案】

【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°

，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．

∵BC是⊙O的切线，

∴∠ABC=90°

∴∠A=90°

﹣∠ACB=40°

由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°

【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°

，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．

设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，

由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，

∴∠OAB=60°

在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，

∴光盘的直径为6，

【分析】由切线的性质知∠OCB=90°

，再根据平行线的性质得∠COD=90°

，最后由圆周角定理可得答案．

∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，

∴∠OCB=90°

∵OD∥AB，

∴∠COD=90°

∴∠CED=∠COD=45°

4.（2018•宁波）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．

【分析】分两种情形分别求解：

如图1中，当⊙P与直线CD相切时；

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；

如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．

在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，

∴x2=42+（8﹣x）2，

∴x=5，

∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．

如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．

∴PM=PK=CD=2BM，

∴BM=4，PM=8，

在Rt△PBM中，PB==4．

综上所述，BP的长为3或4．

【分析】

（Ⅰ）根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小；

（Ⅱ）根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小．

（Ⅰ）∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°

∴∠ACB=90°

∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°

﹣38°

=52°

∵D为的中点，∠AOB=180°

∴∠AOD=90°

∴∠ACD=45°

；

（Ⅱ）连接OD，

∵DP切⊙O于点D，

∴OD⊥DP，即∠ODP=90°

由DP∥AC，又∠BAC=38°

∴∠P=∠BAC=38°

∵∠AOD是△ODP的一个外角，

∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°

∴∠ACD=64°

∵OC=OA，∠BAC=38°

∴∠OCA=∠BAC=38°

∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°

=26°

．

（1）可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线

（2））AB是直径，得∠ACB=90°

，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而，得出tan∠CAB=．

（1）如图，连接OC、BC

∵⊙O的半径为3，PB=2

∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5

∵PC=4

∴OC2+PC2=OP2

∴△OCP是直角三角形，

∴OC⊥PC

∴PC是⊙O的切线．

（2）∵AB是直径

∴∠ACO+∠OCB=90°

∵OC⊥PC

∴∠BCP+∠OCB=90°

∴∠BCP=∠ACO

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∴∠A=∠BCP

在△PBC和△PCA中：

∠BCP=∠A，∠P=∠P

∴△PBC∽△PCA，

∴

∴tan∠CAB=