0710年高考试题分类汇编考点5函数与方程函数模型及其应用1Word格式.docx
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【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度。
【思路点拨】作出分段函数的图像,利用数形结合解题。
【规范解答】选C,,绘制出图像大致如右图,所以零点个数为2。
【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解。
令,则
(1)当时,,或(舍去);
(2)当时,,
综上述:
函数有两个零点。
4.(2010·
福建高考理科·
T4)函数的零点个数为()
A.0B.1C.2D.3
【规范解答】选C,,
绘制出图像大致如右图,所以零点个数为2。
5.(2010·
浙江高考文科·
T9)已知x是函数f(x)=2x+的一个零点.若∈(1,),
∈(,+),则()
(A)f()<0,f()<0(B)f()<0,f()>0
(C)f()>0,f()<0(D)f()>0,f()>0
【命题立意】考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题
【思路点拨】本题可先判断函数的单调性,从而得到零点两侧函数值的符号。
【规范解答】选B。
与在上都为增函数,所以在上单调递增,因为,,所以。
6.(2010·
浙江高考理科·
T9)设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是()
(A)(B)(C)(D)
【命题立意】本题考查函数的性质,考查函数的零点存在定理。
【思路点拨】本题可验证函数在区间的端点处的函数值是否异号;
如果异号,则存在零点;
如果同号,一般不存在零点。
【规范解答】选A。
,,
,在上单调减,,,所以在区间内不存在零点。
同理可验证在B、C、D的区间内存在零点。
7.(2010·
陕西高考理科·
T10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。
那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()
(A)y=(B)y=(C)y=(D)y=
【命题立意】本题考查灵活运用已有的知识解决新问题的能力,属难题。
【思路点拨】理解y=[x]的含义及选法规定是解题的关键,可用特例法进行解答。
【规范解答】选B若,则由推选方法可得,而(A);
(B)y=;
同理可得(C)y(D)y=,否定A;
再令可否定C、D;
故选B
【方法技巧】特例法的解选择题的方法技巧
用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等等)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等等,注意:
特例法只能否定选择支,不能肯定选择支。
当正确的选择对象,在题设普遍条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30%左右.
8.(2010·
T10)对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数(为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有则称直线l:
y=k+b为曲线与的“分渐近线”。
给出定义域均为的四组函数如下:
①;
②
③④
其中,曲线与存在“分渐近线”的是()
A.①④B.②③C.②④D.③④
【命题立意】本题从大学数列极限定义的角度出发,仿造构造了分渐近线函数,目的是考查学生分析问题、解决问题的能力,考生需要抓住本质进行做答,是一道好题,思维灵活。
【思路点拨】读懂新定义、利用新定义,在新背景下进行即时性学习,即可解决问题。
【规范解答】选C,对于①,存在分渐近线的充要条件是x→∞时,-→0,当x>
1时便不符合,所以①不存在;
对于②,存在分渐近线,此时,,且对于任意的m>
0,取,当时,必有;
对于③,假设存在,则,
若则当时,,不满足题意,
若,
(1)当则当时,时必有或成立,不满足题意,
(2)当即,而事实上,不满足题意,
③不存在;
对于④,存在分渐近线,此时,
,且对于任意的m>
0,取,
当时,必有。
9.(2010·
北京高考文科·
T14)如图放置的边长为1的正方形PABC
沿x轴滚动。
设顶点p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是
,则的最小正周期为;
在其两个相
邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为。
说明:
“正方形PABC沿x轴滚动”包含沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。
沿x轴正方向滚动是指以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,
再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC可以沿着x轴负方向滚动。
【命题立意】本题考查函数的相关知识,考查了函数的周期、零点。
要求考生具有探索意识和动手能力,属创新题。
【思路点拨】让正方形向右滚动,作出点P的图象。
从图象可求出周期与面积。
【规范解答】点P在一个周期内的运行轨迹如图所示。
的最小正周期为4。
在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为三个扇形扇形,扇形,扇形与两个直角三角形的面积之和,即
【答案】4
10.(2010·
北京高考理科·
T14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿轴滚动。
设顶点的轨迹方程是,则函数的最小正周期为;
在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为。
“正方形PABC沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动。
沿轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续。
类似地,正方形PABC可以沿轴负方向滚动。
【思路点拨】先让AP与轴重合,再向右滚动,作出的图象。
利用图象求最小正周期及面积。
【规范解答】4,。
点P在一个周期内的运行轨迹如图所示。
在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积为三个扇形:
扇形,扇形,扇形与两个直角三角形的面积之和,即
非课改区:
函数图像变换和函数的应用
重庆高考理科·
T5)函数的图象()
A.关于原点对称B.关于直线y=x对称
C.关于x轴对称D.关于y轴对称
【命题立意】本小题考查函数的对称性,考查奇函数、偶函数的概念,考查运算求解的能力,考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据选项,可以判断函数是否为奇函数、偶函数,即判断与的关系;
如果不是,再判断选项B,C是否正确.
【规范解答】选D
【解法1】
,是偶函数,图象关于y轴对称;
【解法2】
,有,所以函数的图象关于轴对称.
【方法技巧】
(1)指数运算在变形整理中起其重要作用;
(2)分式加法的逆向运算是本题的变形技巧.
上海高考理科·
T17)若是方程的解,则属于区间()
(A)(,1)(B)(,)(C)(,)(D)(0,)
【答】
(C)
【命题立意】本题主要考查函数的性质、零点存在定理及不等式比较大小等有关知识.
【思路点拨】构造相应函数,确定函数零点所在的区间.
【规范解答】选C,构造函数,则,即,同理可得,所以的解在区间(,)内.
3.(2010·
江西高考文科·
T8)若函数的图像关于直线对称,则为
A.B.C.D.任意实数
【命题立意】本题主要考查反函数的概念,考查反函数的图像性质,考查灵活变化能力.
【思路点拨】先求反函数,反函数与原函数为同一函数.
【规范解答】选B.由可得,故反函数为由于图像本身关于直线对称,故选B.
4.(2010·
江西高考理科·
T9)给出下列三个命题:
①函数与是同一函数;
②若函数与的图像关于直线对称,则函数与的图像也关于直线对称;
③若奇函数对定义域内任意都有,则为周期函数.
其中真命题是
A.①②B.①③C.②③D.②
【命题立意】本题主要考查同一函数的判断,函数的图像性质,反函数的图像性质,函数的奇偶性,周期函数,同时考查命题真假的判断.
【思路点拨】①看定义域和对应关系是否相同;
②利用反函数图像的性质判断;
③利用条件可求
周期为4.
【规范解答】选C.①函数与函数的定义域不同,所以两个函数不是同一个函数②由题意知,与互为反函数,从而与也互为反函数,正确;
③=,故周期为4,正确.
全国Ⅰ理科·
T15)直线与曲线有四个交点,则的取值范围是.
【命题立意】本小题主要考查分段函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.
【思路点拨】将函数中的绝对值符号去掉变成两个函数,
然后根据自变量的范围画出相应的图像,根据图像特征确定的取值范围.
【规范解答】如图,在同一直角坐标系内画出直线与曲线,观图可知,a的取值必须满足解得.先画二次图像,再看直线与顶点、轴交点的位置关系.
湖北高考理科·
T17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:
万元)与隔热层厚度(单位:
cm)满足关系:
,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(Ⅰ)求的值及的表达式;
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值.
【命题立意】本题主要考查由实际问题求函数解析式、利用导数求函数最值,考查考生的阅读理解及运算求解能力.
【思路点拨】
的表达式的最小值
【规范解答】
(Ⅰ)设隔热层厚度cm,由题意建筑物每年的能源消耗费用为,再由得,故;
又厘米厚的隔热层建造费用为,所以由题意=+=+。
(Ⅱ),令0
得(舍去),当时,,当时,,故时取得最小值,且最小值==70
.因此当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小,且最小值为70万元。
【方法技巧】解函数应用题的第一关是:
正确理解题意,将实际问题的要求转化为数学语言,找出函数关系式,注明函数定义域;
第二关是:
针对列出的函数解析式按题目要求,选择正确的数学思想将其作为一个纯数学问题进行解答。
2009年考题
1.(2009福建高考)函数的图象关于直线对称。
据此可推测,对任意的非零实数a,b,c,m,n,p,关于x.0的方程的解集不可能是()
A.BCD
【解析】选D.本题用特例法解决简洁快速,对方程中分别赋值求出检验即得.
2.(2009福建高考)若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25,则可以是()
A.B.C.D.
【