实用参考高中数学函数知识点详细docxWord格式.docx

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③若

是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数

例1．求函数

例2．求函数

④对数函数的真数必须大于零

⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1

⑥若

为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如

⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

（4）求抽象函数（复合函数）的定义域

已知函数

的定义域为[0,1]求

的定义域

的定义域为[0,1）求

3、值域:

（1）值域的定义：

相对应的

值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）确定值域的原则：

先求定义域

（3）常见基本初等函数值域：

一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

（4）确定函数值域的常见方法：

①直接法：

从自变量

的范围出发，推出

例：

的值域。

解：

∵

，∴

∴函数

的值域为

。

②配方法：

配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。

形如

的函数的值域问题，均可使用配方法。

（

）的值域。

∴

）的值域为

③分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

④换元法：

运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如

、

均为常数，且

）的函数常用此法求解。

令

），则

∵当

，即

时，

，无最小值。

⑤判别式法：

把函数转化成关于

的二次方程

；

通过方程有实数根，判别式

，从而求得原函数的值域，形如

不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

由

变形得

当

时，此方程无解；

时，∵

解得

，又

值域为

练习：

的值域

4、函数的表示方法

（1）解析法、列表法、图象法

（2）求函数解析式的常见方法：

①换元法

已知

求

的解析式.

若

.

求

②解方程组法

设函数

满足

+2f（

）=

≠0），求

函数解析式.

一变：

是定义在R上的函数，

，并且对于任意实数

，总有

（令P=0，P=2P）

③待定系数法

是一次函数，并且

设

，则

则

，解得

或

故所求一次函数解析式

④配变量法

⑤特殊值代入法（取特殊值法）

且

求值

是

上的函数，且满足

并且对任意实数

有

的表达式

即

或设

⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.

对

∈R,

且当

∈[－1,0]时,

求当

∈[9,10]时

的表达式.

解析：

，T=2

5、分段函数

在函数的定义域内，对于自变量

的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。

（2）注意：

分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集；

分段函数是一个函数，而不是几个函数；

写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。

6、复合函数

如果

称为

的复合函数。

7、函数图象问题

（1）熟悉各种基本初等函数的图象

如：

（2）图象变换

平移：

对称：

翻折：

注意：

带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK课堂习题KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

1.求下列函数的定义域：

⑴

⑵

2.设函数

的定义域为

，则函数

的定义域为__

3.若函数

的定义域是

4.函数

，若

=

5.求下列函数的值域：

（3）

（4）

二．函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）

（1）增减函数和单调区间

的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量

，当

时，都有

，那么就说

在区间D上是增函数.区间D称为

的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值

在这个区间上是减函数.区间D称为

的单调减区间.

函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数

在某个区间是增函数或减函数，那么说函数

在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）

（A）定义法：

任取

∈D，且

作差

变形（通常是因式分解和配方）；

定号（即判断差

的正负）；

下结论（指出函数

在给定的区间D上的单调性）．

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

复合函数

的单调性与构成它的函数

的单调性密切相关，其规律：

“同增异减”

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

是否存在实数

使函数

在闭区间

上是增函数？

如果存在，说明

可取哪些值；

如果不存在，说明理由。

>

1时，为使函数

上是增函数

只需

上是增函数，故

得

，又由

1，得

1

当0<

<

上是减函数，故

无解

综上，当

（D）常用结论

●函数

与函数

的单调性相反；

具有相同的单调性；

●当

时，函数

具有相同的单调性，

时，它们具有相反的单调性；

●若

则函数

具有相反的单调性；

●公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、

增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数

且

都是增（或减）函数，则

也是增（或减）函数；

，且在定义域上是增函数，则

也是增函数，

也是增函数。

●常见函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数

）

（E）利用函数的单调性求函数的最值

确定函数的定义域；

将复合函数分解为基本的初等函数；

分别判断其单调性；

根据同增异减判断

在区间[2,6]上的最大值和最小值

2．函数的奇偶性（整体性质）

（1）函数奇偶性定义

一般地，对于函数

的定义域D内的任意一个

，都有

（或

），那么

就叫做奇（或偶）函数．

（2）图象的特征

偶函数的图象关于P轴对称；

奇函数的图象关于原点对称．

（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

确定

是否成立；

作出相应结论：

是偶函数；

是奇函数．

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;

或由变式

来判定;

利用定理，或借助函数的图象判定.

（4）函数奇偶性的重要结论

●具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；

●

是定义域分别为

的奇函数，那么在

上，

+

是奇函数，

•

是偶函数。

●类似结论：

奇

奇=奇、奇×

奇=偶、

偶

偶=偶、偶×

偶=偶

奇×

偶=奇

是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

的定义域关于原点对称，则

是偶函数，

是奇函数。

既是奇函数又是偶函数，则

●复合函数的奇偶性：

内层是偶函数，则

是偶函数

（不用死记硬背）内层是奇函数，外层是奇函数，则

是奇函数

外层是偶函数，则

（5）函数奇偶性与单调性的关系

●奇函数在

上是增函数，在

上也是增函数；

●偶函数在

上是减函数。

是奇函数，且当

时是增函数，若

，求不等式

的解集。

不等式可化为

因为

在

上递增，所以

，或

又由

是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，

，得

，即有

，无解。

综上，原不等式的解集是{

}

设奇函数

上为增函数，且

，则不等式

的解集为？

是奇函数得

，所以

由奇函数

上为增函数，故

上为增函数

知

可化为

，同理

解集为

3.函数的周期性

（1）周期函数的定义

若函数

对于定义域中任意

，存在不为零的常数

，使得

恒成立，则

为周期函数，

为

的周期

（2）有关周期性的一些结论

的周期为

也是

●若周期函数的周期

是所有正周期中最小的，则

的最小正周期

●若函数

比以

为周期，反之不成立。

证明提示：

①令

②令

③令

（3）函数的对称性

●满足条件

的函数的图象关于直线

对称；

●若满足

的函数的图象关于点

对称

●点

关于

轴的对称点为

，函数

轴的对称曲线方程为

关于原点的对称点为

关于直线

对称。

，对称轴求法：

的对称轴求法：

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK课堂习题KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK