考研数三真题及答案解析Word文档下载推荐.docx
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2xlnx
1
1，所以x1是函数f（x）的可去间断点．
x
x1
limf（x）lim
x1x1x（x1）lnx
（x1）lnx
，所以所以x1不是函数f（x）的
可去间断点．故应该选（C）．３．设Dk是圆域D
（x,y）|x2y21的第k象限的部分，记Ik（yx）dxdy，则Dk
A）I10（B）I20（C）I30（D）I40
详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
k
（k1）
2k
sincos|k21
32
Ik（yx）dxdyDk
所以I1
I30,I223,I4
４．设
A）
B）
C）
D）
d（sincos）r2dr1
23，应该选（
B）．
an为正项数列，则下列选择项正确的是（
anan1，则
（1）an收敛；
n1
（1）n1an收敛，则anan1
an收敛．则存在常数P1，使limnpan存在；
n1n
若存在常数P1，使limnpan存在，则an收敛．
nn1
k21（sinsin）d
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（
A），但少一
条件liman0，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，
n选项（B）５．设Ａ，
（A）
（B）
（C）
（D）
也不正确，反例自己去构造．
Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则矩阵矩阵矩阵矩阵
C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵C的行向量组与矩阵C的列向量组与矩阵
A的行向量组等价．A的列向量组等价．B的行向量组等价．B的列向量组等价．
不是必要条件，
详解】把矩阵A，C列分块如下：
A1,2,,n
C1,2,,n，由于ＡＢ＝Ｃ，
则可知ibi11bi22binn（i1,2,,n），
得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的
列向量组线性表示．同时由于B可逆，即ACB1，
同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵
C的列向量组与矩阵
A的列向量组等价．应该选（B）．
1a1
200
6．矩阵
aba
与矩阵
0b0
000
C的列向量组线性表示，所以矩阵
相似的充分必要条件是
A）a0,b2
B）a0，b为任意常数
C）a2,b0
A）P1P2P3
B）P2P1P3
C）P3P2P1
D）P1P3P2
是对角矩阵，所以矩阵A=
D）a2，b为任意常数
详解】注意矩阵
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
1a1
22EAaba（2（b2）2b2a2）
从而可知2b2a22b，即a0，b为任意常数，故选择（B）．
22
7．设X1,X2,X3是随机变量，且X1~N（0,1）,X2~N（0,22）,X3~N（5,32），
PiP2Xi2，则
X
详解】若X~N（,2），则~N（0,1）
P12
（2）1，
P2P2X22P1X2
12
（1）1，
P3
25
3
X35
7
（1）
731）
P21
733
（1）
23
（1）0．
12
C）1
故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
3P
P
1/2
1/4
1/8
Y
-1
1/3
则PXY2（）
1111PXY2PX1,Y1PX2,Y0PX3,Y11224246
，故选择（C）．
、填空题（本题共
6小题，每小题
4分，满分24分.把
答案填在题中横线上）
9．设曲线yf（x）和yx2
x在点1,0处有切线，
limnfn
n2
详解】由条件可知f10,f'
（1）1．所以
f1
limnflimnn2n
f
（1）
2n2
2f'
（1）2
n22n
10．设函数
zzx,y是由方程zyxy确定，则
zx|（1,2）．
详解】
Fx,y,z（zy）xxy
Fxx,y,z（zy）xlzy）y,Fz（x,ny,z）x（zy）x1，
当x1,y2时，z0，
所以z|（1,2）22ln2．
11．lnx2dx．
（1x）
lnx
lnxdxlnxd
（1x）2
lnx|1
|11
x（1x）
dxlnx|1ln2
12．微分方程yy1y
4
0的通解为．
详解】方程的特征方程为
r0，两个特征根分别为1
41
2，所以方程通
解为y（C1C2x）e2，其中C1,C2为任意常数．
13．设Aaij是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aij为元素aij
的代数余子式，且满足
Aijaij0（i,j1,2,3），则A=．
详解】由条件Aijaij0（i,j1,2,3）可知AA*T0，其中A*为A的伴随矩阵，从
而可知
*T31
A*A*A31A，所以A可能为1或0．
n,r（A）n
*T
但由结论r（A*）1,r（A）n1可知，AA*T0可知r（A）r（A*）,伴随矩阵的秩只
0,r（A）n1
能为3，所以A1.
14．设随机变量X服从标准正分布X~N（0,1），则EXe2X．
【详解】
EXe2X
xe2x1e
x2
2dx
2e
（x2）
（x2）2
（x22）e2dx
2e
t2
dt2
e2dt
e2E（X）2e2
所以为2e2．
三、解答题
15．（本题满分10分）当x0时，1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数a,n．
分析】主要是考查x0时常见函数的马克劳林展开式．
【详解】当x0时，cxo1s1x2o（x2），
cos2x11（2x）2o（x2）12x2o（x2），
122922
cos3x1（3x）2o（x2）1x2o（x2），
所以
1cosxcos2xcos3x1
（112x
o（x2））（12x2
292o（x2））（12x2
o（x2））7x2o（x2）
由于1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，所以a7,n2．16．（本题满分10分）
设D是由曲线y3x，直线xa（a0）及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x
轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VxVy，求a的值．
由微元法可知
Vx
a2
Vy
2xf（x）dx2
a
x3dx0
6a3；
ydxx3dxa3；
05
由条件10VxVy，知a
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线x3y,y3x,xy8所围成，求x2dxdy．
D
222223x628x416x2dxdyx2dxdyx2dxdy0x2dxxdy2x2dxxdy
DD1D2333
18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P60Q,（P1000
该的边际利润．
当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．使得利润最大的定价P．
是单价，单位：
元，Q是销量，单位：
件），已知产销平衡，求：
（1）
（2）
（3）
1）设利润为y，则yPQ（600020Q）40QQ6000，1000
边际利润为y'
40Q.
500
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．经济意义为：
当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．
（3）令y'
0，得Q20000,P602000040.
10000
19．（本题满分10分）
设函数fx在［0,）上可导，f00，且limf（x）2，证明
1）存在a0，使得fa1;
2）对
（1）中的a，存在（0,a），使得f'
（）1
35证明
（1）由于limf（x）2，所以存在X0，当xX时，有f（x），x22
又由于fx在［0,）上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;
2）
存在
函数fx在［0,a］上可导，由拉格朗日中值定理，
20．
设
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