值域经典题型Word下载.docx

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（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；

（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．

3．求函数的值域：

．

4．求下列函数的值域：

（1）y=3x2﹣x+2；

（2）

；

（3）

（4）

（5）

（6）

5．求下列函数的值域

（1）

（3）

x∈[0，3]且x≠1；

6．求函数的值域：

y=|x﹣1|+|x+4|．

7．求下列函数的值域．

（1）y=﹣x2+x+2；

（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；

（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；

（4）y=

8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域．

9．已知f（x）的值域为

，求y=

的值域．

10．设

的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

考点：

函数的值域；

交、并、补集的混合运算；

函数的定义域及其求法。

1457182

专题：

计算题。

分析：

由

可求A，由

可求B可求

解答：

解：

由题意可得

∴A=[2，+∞），∵

∴B=（1，+∞），CRA=（﹣∞，2），CRB=（﹣∞，1]﹣﹣﹣（4分）∴A∩B=[2，+∞）

∴（CRA）∩（CRB）=（﹣∞，1]﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

点评：

本题主要考查了函数的定义域及指数函数的值域的求解，集合的交集、补集的基本运算，属于基础试题

二次函数的性质；

一元二次不等式的解法。

（1）从f（0）=f（4）可得函数图象关于直线x=2对称，用公式可以求出b=4，代入函数表达式，解一元二次不等式即可求出满足条件f（x）＜0的x的集合；

（2）在

（1）的基础上，利用函数的单调性可以得出函数在区间（0，3]上的最值，从而可得函数在（0，3]上的值域．

（1）因为f（0）=f（4），所以图象的对称轴为x=

=2，

∴b=﹣4，函数表达式为f（x）=x2﹣4x+3，

解f（x）=0，得x1=1，x2=3，因此函数的零点为：

1和3

满足条件f（x）＜0的x的集合为（1，3）

（2）f（x）=（x﹣2）2﹣1，在区间（0，2）上为增函数，在区间（2，3）上为减函数

所以函数在x=2时，有最小值为﹣1，最大值小于f（0）=3

因而函数在区间（0，3]上的值域的为[﹣1，3）．

本题主要考查二次函数解析式中系数与对称轴的关系、二次函数的单调性与值域问题，属于中档题．只要掌握了对称轴公式，利用函数的图象即可得出正确答案．

函数的值域。

计算题；

转化思想；

判别式法。

由于对任意一个实数y，它在函数f（x）的值域内的充要条件是关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解，因此“求f（x）的值域．”这一问题可转化为“已知关于x的方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有实数解，求y的取值范围”．

判别式法：

∵x2+x+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．

得：

（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0①

①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，∴x=0∈R

②当y﹣2≠0即y≠2时，

∵x∈R时方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0恒有实根，

∴△=（y+1）2﹣4×

（y﹣2）2≥0，∴1≤y≤5且y≠2，

∴原函数的值域为[1，5]．

把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式，令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：

（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求．

（2）当二次项系数不为0时，利用“∵x∈R，∴△≥0”求解，此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形．

（2）

（5）

（6）

常规题型。

（1）（配方法）∵y=3x2﹣x+2=3（x﹣

）2+

（2）看作是复合函数先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=

，再配方法求得μ的范围，可得

的范围．

（3）可用分离变量法：

将函数变形，y=

=

=3+

，再利用反比例函数求解．

（4）用换元法设t=

≥0，则x=1﹣t2，原函数可化为y=1﹣t2+4t，再用配方法求解

（5）由1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1，可用三角换元法：

设x=cosα，α∈[0，π]，将函数转化为y=cosα+sinα=

sin（α+

）用三角函数求解

（6）由x2+x+1＞0恒成立，

即函数的定义域为R，用判别式法，将函数转化为二次方程（y﹣2）x2+（y+1）x+y﹣2=0有根求解．

≥

，∴y=3x2﹣x+2的值域为[

，+∞）

（2）求复合函数的值域：

设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=

又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，

∴0≤μ≤4，故

∈[0，2]，

∴y=

的值域为[0，2]

（3）分离变量法：

y=

，∵

≠0，∴3+

≠3，

∴函数y=

的值域为{y∈R|y≠3}

（4）换元法（代数换元法）：

设t=

≥0，则x=1﹣t2，

∴原函数可化为y=1﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+5（t≥0），∴y≤5，

∴原函数值域为（﹣∞，5]

注：

总结y=ax+b+

型值域，

变形：

y=ax2+b+

或y=ax2+b+

（5）三角换元法：

∵1﹣x2≥0⇒﹣1≤x≤1，

∴设x=cosα，α∈[0，π]，

则y=cosα+sinα=

）

∵α∈[0，π]，∴α+

∈[

，

]，∴sin（α+

）∈[﹣

，1]，∴

）∈[﹣1，

]，

∴原函数的值域为[﹣1，

]

（6）判别式法：

∵x2+x+1＞0恒成立，

∴函数的定义域为R

由y=

①当y﹣2=0即y=2时，①即3x+0=0，

∴x=0∈R

（y﹣2）2≥0，

∴1≤y≤5且y≠2，

∴原函数的值域为[1，5]

本题主要考查求函数值域的一些常用的方法．配方法，分离变量法，三角换元法，代数换元法，判别式法…

（1）把函数转化成关于tanx的函数，进而求值域．

（2）令因为1﹣x2≥0，即﹣1≤x≤1，故可x=sinx，把函数转化成三角函数，利用三角函数的性质求函数的最值．

（3）把原式变成2+

，设t=

，通过幂函数t的图象即可求出t的值域，进而求出函数y=

（4）令t=x﹣4，即x=t+4代入原函数．得出y关于t的函数，进而求出答案．

（1）∵

=1+

+4tanx+4

=5+

+4tan2x≥2

+5≥9

∴函数

的值域为[9，+∞）

（2）令x=sinα，α∈[﹣

∴

=sinα﹣cosα=

sin（α﹣

∵α∈[﹣

]∴α﹣

∈[﹣

]∴sin（α﹣

的值域为[﹣

，1]

（3）y=

=2+

令t=

，则其函数图象如下

如图可知函数在区间[0，1）单调减，在区间（1，3]单调增

∴t∈（﹣∝，﹣6]∪[3，+∝）

∴y∈（﹣∝，﹣4]∪[5，+∝）

即函数y=

的值域为（﹣∝，﹣4]∪[5，+∝）

（4）设t=x﹣4，x=4+t

则

﹣

=|

+2|﹣|

﹣2|

∵t=x﹣4≥0

≥0

∴y∈[0，4]

即函数

的值域为[0，4]

本题主要考查求函数的值域问题．此类题常用换元、配方、数形结合等方法．

分类讨论。

由函数表达式知，y＞0，无最大值，去掉绝对值，把函数写成分段函数的形式，在每一段上依据单调性求出函数的值域，取并集得函数的值域．

数形结合法：

y=|x﹣1|+|x+4|=

∴y≥5，

∴函数值域为[5，+∞）．

本题体现数形结合和分类讨论的数学思想方法．

（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；

（1）求二次函数y=﹣x2+x+2的值域可先求最值，由最值结合图象，写出值域．

（2）求一次函数y=3﹣2x在闭区间上的值域，要先求最值，由最值写出值域．

（3）求二次函数y=x2﹣2x﹣3在某一区间上的值域，要结合图象，求出最值，再写出值域．

（4）求分段函数y的值域，要在每一段上求出值域，再取其并集，得出分段函数的值域．

（1）二次函数y=﹣x2+x+2；

其图象开口向下，对称轴x=

，当x=

时y有最大值

故函数y的值域为：

（﹣∞，

）；

（2）一次函数y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；

单调递减，

在x=﹣2时，y有最大值7；

在x=9时，

y有最小值﹣15；

[﹣15，7]；

（3）二次函数y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；

图象开口向上，对称轴x=1，当x=1时，函数y有最小值﹣4；

当x=﹣1时，y有最大值0；

所以函数y的值域为：

[﹣4，0）；

（4）分段函数y=

当x≥6时，y=x﹣10≥﹣4；

当﹣2≤x＜6时，y=8﹣2x，

∴﹣4＜y≤12；

[﹣4，+∞）∪（﹣4，12]=[﹣4，+∞）．

本组4个题目求函数的值域，都是在其定义域上先求其最值，根据最值，直接写出其值域；

它们都是基础题．

函数