高考数学 第二章第2节函数单调性导学案 新人教版Word文件下载.docx

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（4）图像法：

（5）奇偶性法：

（6）导数法：

求函数的单调区间。

三、典例精析：

考点一：

函数单调性的判定和证明

例1证明函数：

在上是增函数。

即时训练

已知函数f（x）=ax+（a＞1），

证明：

函数f（x）在（-1,+∞）上为增函数.

考点二：

复合函数单调性的判定

例2求函数的单调区间。

即时训练

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数的单调区间

考点三函数的值域和最值的问题

常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：

①观察法；

②配方法；

③反函数法；

④不等式法；

⑤单调性法；

⑥数形法；

⑦判别式法；

⑧有界性法；

⑨换元法（又分为法和法）

例如：

①形如y＝，可采用法；

②y＝，可采用法或法；

③y＝a[f（x）]2＋bf（x）＋c，可采用法；

④y＝x－，可采用法；

⑤y＝x－，可采用法；

⑥y＝可采用法等.

例3求下列函数的最值和值域。

（1）

（2）

（3）（4）

即时训练.求下列函数的值域：

（1）y=

（2）y=x-;

（3）y=.

考点四函数单调性的综合应用

例4已知已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；

（3）若f（3）=-1,解不等式f（|x|）＜-2.

四、当堂检测：

1.若为奇函数，且在上是减函数，又，则的解集为．

2.函数的值域为．

3.若函数在上的最大值与最小值之差为2，则

4.已知的定义域为，则的定义域为

5.任取且若

，称是[a，b]上的凸函数，则下列图象中，是凸函数图象的是：

（）

五、反思小结：

2019-2020年高考数学第二节平面向量的坐标表示教材

教材面面观

1．向量的坐标

平面向量的坐标表示：

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝________，由于a与数对________是一一对应的，因此把________叫做向量a的（直角）坐标，记作a＝________，其中________叫做a在x轴上的坐标，________叫做a在y轴上的坐标．

答案　x·

i＋y·

j　（x，y）　（x，y）　（x，y）　x　y

2．平面向量的坐标运算

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），

①a＋b＝________；

②a－b＝________；

③λa＝________（其中λ∈R）．

④a∥b，则________．

答案　（x1＋x2，y1＋y2）　（x1－x2，y1－y2）　（λx1，λy1）　x1y2－x2y1＝0

考点串串讲

1．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任取一个向量a，由平面向量的基本定理，有且仅有一对实数x，y使得a＝x·

j，（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a＝（x，y），x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，我们把a＝（x，y）叫做向量的坐标表示．其中i，j称为标准基底，也叫基本向量．显然i＝（1,0），j＝（0,1），0＝（0,0）．

说明　

（1）在直角坐标系内，以原点为起点的向量

＝a，点A的坐标由a唯一确定．此时，点A的坐标与向量a的坐标统一为（x，y）．

（2）点的坐标与向量的坐标要区别开来，相等向量应坐标相同，但对应的有向线段的起点和终点却可以不同，如A（0,0），B（1,1）．∴

＝（1,1），若C（3,3），D（4,4），∴

＝（1,1），∴

＝

，而A、B、C、D四点坐标不同．

（3）两个向量相等的充要条件是它们的对应坐标相等．

（4）通过建立直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对确定．反过来，任一有序实数对就表示一个向量，即一个平面就是一个有序实数对．

（1）设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）．

即两向量的和（与差）等于这两个向量相应坐标的和（与差）．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则

＝（x2－x1，y2－y1），即一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．

（3）对于平面向量的坐标运算要明确：

①要明确向量的坐标与表示该向量的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．

②向量可以用坐标表示，向量的加法、减法及实数与向量的积的运算都可以用坐标来进行，使得向量运算完全代数化，将形与数紧密结合起来，使得许多几何问题可以转化为我们熟知的代数运算．

3．向量平行的坐标表示

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且b≠0.则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.

说明　凡遇到与共线（平行）向量相关的问题时，一般地要考虑用向量平行的充要条件．另外，在平面几何图形中的点的坐标、线段的长度、三点共线及平行等问题都要用到此定理.

典例对对碰

题型一向量的坐标运算

例1已知a＝

，B（1,0），b＝（－3,4），c＝（－1,1），且a＝3b－2c，求点A的坐标．

解析　先求

的坐标，再求A的坐标．a与b、c有关，用b、c的坐标表示a.

∵b＝（－3,4），c＝（－1,1）．

∴3b－2c＝3（－3,4）－2（－1,1）

＝（－9,12）－（－2,2）

＝（－7,10）

即a＝（－7,10）＝

.

又B（1,0），设A点坐标为（x，y）．

＝（1－x,0－y）＝（－7,10）

∴

⇒

即A点坐标为（8，－10）．

点评　通过向量相等则坐标相同这一关系找出等式关系.

变式迁移1

（1）已知向量a＝（3，－2），b＝（－2,1），c＝（7，－4），试用a和b来表示c.

（2）已知A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4）且

＝3

，

＝2

.求M、N的坐标和

解析　

（1）用待定系数法：

由3×

1－（－2）×

（－2）≠0，

故a与b不共线．

可设c＝λ1a＋λ2b（其中λ1、λ2为待定的常数）．即

（7，－4）＝λ1（3，－2）＋λ2（－2,1）

＝（3λ1－2λ2，－2λ1＋λ2）

∴c＝a－2b.

（2）∵A（－2,4），B（3，－1），C（－3，－4），

＝（1,8），

＝（6,3）．

＝3（1,8）＝（3,24），

＝2（6,3）＝（12,6）．

设M（x，y），则

＝（x＋3，y＋4）．

因此

得

∴M（0,20）．

同理可得N（9,2）．

＝（9－0,2－20）＝（9，－18）.

题型二平行向量

例2已知a＝（2,3），b＝（1,2），若ka－b与a－kb平行，求实数k的值，并指出它们是同向还是反向？

解析　∵a＝（2,3），b＝（1,2）

∴ka－b＝（2k－1,3k－2）．

a－kb＝（2－k,3－2k）

又ka－b与a－kb平行

∴（2k－1）（3－2k）－（3k－2）（2－k）＝0

解得k＝±

1.

当k＝1时，ka－b＝a－kb，这两个向量方向相同；

当k＝－1时，ka－b＝－（a－kb），这两个向量方向相反.

变式迁移2

三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（　　）

A．x1y2－x2y1＝0

B．x1y3－x3y1＝0

C．（x2－x1）（y3－y1）＝（x3－x1）（y2－y1）

D．（x2－x1）（x3－x1）＝（y2－y1）（y3－y1）

答案　C

解析　

＝（x2－x1，y2－y1），

＝（x3－x1，y3－y1），

∵

∥

∴（x2－x1）（y3－y1）－（x3－x1）（y2－y1）＝0.选C.

题型三用坐标法解决几何问题

例3已知ABCD是正方形，

，|

|＝|

|，

的延长线交

的延长线于F，用向量的坐标法证明AF＝AE.

分析　注意向量坐标法的应用，及平行的充要条件，欲证AF＝AE，可建立坐标系，用向量的坐标运算证明|

|.

证明　建立如图所示平面直角坐标系，设正方形边长为1，则A、B坐标为（－1,1）、（0,1）．

若设E坐标为（x，y），

则

＝（x，y－1），

＝（1，－1），

又∵

.　①

且|

∴x2＋y2＝2.　②

由①、②联合解得E点坐标为（

）．

设F点坐标为（x1,1），则

＝（x1,1）．

又

与

共线，于是有

x1－

＝0，

x1＝－2－

即F点的坐标为（－2－

，1）．

＝（－1－

，0），

＝（

∴|

|＝1＋

＝|

∴AF＝AE.

点评　向量的坐标法是用向量证明几何问题的一种方法，它可将抽象的逻辑推理转化为单纯的向量的坐标运算，降低难度，易于接受，但建系要求适当，否则将带来繁琐的运算.

变式迁移3

已知四边形ABCD中，E、F分别为AB与CD的中点，求证：

＋

证明　如图，建立直角坐标系，

设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）、

F（x6，y6），

于是

＝（x4－x1，y4－y1），

＝（x3－x2，y3－y2）．

＝（x4＋x3－x2－x1，y4＋y3－y2－y1）．

∵E为AB的中点，∴

即（x5－x1，y5－y1）＝（x2－x5，y2－y5）．

解得

同理可得

∴2

＝2（

－

）

题型四考查向量的坐标运算与解析几何相结合的问题

例4如图所示，三定点A（2,1），B（0，－1），C（－2,1）；

三动点D、E、M满足

＝t

，t∈[0,1]．

（1）求动直线DE斜率的变化范围；

（2）求动点M的轨迹方程．

解析　

（1）设D（xD，yD），E（xE，yE），M（x，y）．

由

，知（xD－2，yD－1）＝t（－2,2）．

∴kDE＝

＝1－2t.

∵t∈[0,1]，∴kDE∈[－1,1]．

（2）解法一　∵

∴（x＋2t－2，y＋2t－1）＝t（－2t＋2t－2,2t－1＋2t－1）＝t（－2,4t－2）＝（－2t,4t2－2t）．

∴y＝

，即x2＝4y.

∵t∈[0,1]，∴x＝2（1－2t）∈[－2