北师大版高中数学必修四学案第三章 章末复习课Word下载.docx
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类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
例1 已知α，β为锐角，cosα＝
，tan（α－β）＝－
，求cosβ的值．
反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·
，α＝（α＋β）－β，α＝β－（β－α），α＝
[（α＋β）＋（α－β）]，β＝
[（α＋β）－（α－β）]等．
跟踪训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
，
.
（1）求tan（α－β）的值；
（2）求α＋β的值．
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数f（x）＝sinx＋cosx＋sinx·
cosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2 求函数y＝sinx＋sin2x－cosx（x∈R）的值域．
类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
例3 已知函数f（x）＝2
sin（x－3π）sin
＋2sin2
－1，x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间
上的最大值和最小值；
（2）若f（x0）＝
，x0∈
，求cos2x0的值．
反思与感悟
（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型（余弦型）函数，这是解决问题的前提．
（2）解答此类题目要充分运用两角和（差）、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
跟踪训练3 已知cos
＝
<
x<
，求
的值．
类型四 构建方程（组）的思想在三角恒等变换中的应用
例4 已知sinx＋2cosy＝2，求2sinx＋cosy的取值范围．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．
跟踪训练4 已知关于θ的方程
cosθ＋sinθ＋a＝0在区间（0,2π）上有两个不相等的实数解α，β，求cos（α＋β）的值．
1．若α是第三象限角，且sin（α＋β）cosβ－sinβcos（α＋β）＝－
，则tan
等于（ ）
A．－5B．－
C.
D．5
2．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝
，则sin2θ等于（ ）
A.
B．－
C.
D．－
3．已知sinα＋cosβ＝
，sinβ－cosα＝
，则sin（α－β）＝________.
4．设α为锐角，若cos
，则sin
的值为________．
5．已知函数f（x）＝cosx·
sin（x＋
）－
cos2x＋
，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在闭区间[－
]上的最大值和最小值．
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质．
答案精析
知识梳理
1．cosαcosβ＋sinαsinβ cosαcosβ－sinαsinβ sinαcosβ＋cosαsinβ
sinαcosβ－cosαsinβ
2．2sinαcosα cos2α－sin2α 2cos2α－11－2sin2α
3．2cos2α 2sin2α
4.
5．tan（α＋β）（1－tanαtanβ）tan（α－β）（1＋tanαtanβ）
6.
sin（ωx＋θ）
题型探究
例1 解 ∵α是锐角，cosα＝
∴sinα＝
，tanα＝
∴tanβ＝tan[α－（α－β）]
∵β是锐角，∴cosβ＝
跟踪训练1 解
（1）由题可知，cosα＝
，cosβ＝
由于α，β为锐角，则sinα＝
，sinβ＝
，故tanα＝
，tanβ＝
则tan（α－β）＝
＝－
（2）因为tan（α＋β）＝
＝1，
sinα＝
<
即0<
α＋β<
，故α＋β＝
例2 解 设sinx＋cosx＝t，
则t＝sinx＋cosx
sin
∴t∈[－
]，
∴sinx·
cosx＝
∵f（x）＝sinx＋cosx＋sinx·
cosx，
∴g（t）＝t＋
（t＋1）2－1，t∈[－
]．
当t＝－1，即sinx＋cosx＝－1时，f（x）min＝－1，
此时，由sin
解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－
，k∈Z.
当t＝
，即sinx＋cosx＝
时，f（x）max＝
＋
此时，由
即sin
解得x＝2kπ＋
综上，当x＝2kπ－π或x＝2kπ－
，k∈Z时，f（x）取得最小值－1；
当x＝2kπ＋
，k∈Z时，f（x）取得最大值
跟踪训练2 解 令sinx－cosx＝t，
则由t＝
知，t∈[－
又sin2x＝1－（sinx－cosx）2＝1－t2，
∴y＝（sinx－cosx）＋sin2x＝t＋1－t2
2＋
时，ymax＝
；
当t＝－
时，ymin＝－
－1.
∴函数的值域为
例3 解
（1）因为f（x）＝
（2sinxcosx）＋（2cos2x－1）
sin2x＋cos2x＝2sin
所以f（x）的最小正周期为π.
又因为x∈[0，
所以2x＋
∈[
所以f（x）的最大值为2，最小值为－1.
（2）由
（1）可知，
f（x0）＝2sin
又因为f（x0）＝
所以sin
由x0∈
，得2x0＋
∈
所以cos
cos2x0＝cos
＝cos
cos
＋sin
·
sin
跟踪训练3 解
＝sin2x·
tan
∵
，∴
x＋
2π，
又∵cos
∴sin
∴tan
∴cosx＝cos
cos
×
∴sinx＝sin
＝sin
－sin
sin2x＝
，tanx＝7.
∴
例4 解 设2sinx＋cosy＝a.
由
解得
从而
解得1≤a≤
故2sinx＋cosy的取值范围是
跟踪训练4 解 设x＝cosθ，y＝sinθ，则有
消去y，并整理得4x2＋2
ax＋a2－1＝0.①
由已知得cosα，cosβ是①的两个实数解，
由根与系数的关系，得
∴sinαsinβ＝（
cosα＋a）（
cosβ＋a）
＝3cosαcosβ＋
（cosα＋cosβ）a＋a2
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
－
当堂训练
1．A 2.A 3.－
4.
5．解
（1）由已知，有f（x）＝cosx·
（
sinx＋
cosx）－
sinx·
cosx－
sin2x－
（1＋cos2x）＋
cos2x
sin（2x－
）．
所以f（x）的最小正周期为T＝
＝π.
（2）因为f（x）在区间[－
，－
]上是减少的，在区间[－
]上是增加的，
f（－
）＝－
，f（－
f（
）＝
所以函数f（x）在闭区间[－
]上的最大值为
，最小值为－
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