初三圆周角和圆心角之间关系讲义和练习Word文件下载.docx

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圆周角定理及两个推论．

2．预习方法提示：

本节由射门游戏问题引入圆周角概念，圆周角有两个特征．圆周角与圆心角的关系揭示了分类讨论思想的本质，学习时要注意体会．

三、预习效果反馈

1．试找出图3-3-1中所有的圆周角．

2．如图3-3-2，∠A是⊙O的圆周角，∠A是40°

，求∠OBC．

3．如图3-3-3，AB是⊙O的直径，∠A=40°

，求∠ABC度数．

Ⅲ．课堂跟讲

一、背记知识随堂笔记

（一）必记概念

1．圆周角：

顶点在，并且的角．

2．圆周角的两个特征：

（1）；

（2）．

（二）必记定理

1．圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的．

2．推论：

（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

（2）直径所对的圆周角是，90°

的圆周角所对的弦是．

（三）知识结构

二、教材中“？

”解答

1．问题（P100）解答：

这三个角大小相等．

2．议一议（P101）解答：

∠ABC=∠AOC．分三种情况进行证明．小亮考虑的是一种特殊情况，其他两种情况可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．需要明确：

以圆上任意一点为顶点的圆周角，虽然有无数个，但它们与圆心的位置关系归纳起来只有三种情况：

（1）圆心在角的一边上；

（2）圆心在角的内部；

（3）圆心在角的外部．

3．问题（P102）解答：

如果∠ABC的两边不经过圆心，结果一样．对于图

（1）中，圆心O在∠ABC的内部，作直径BD，利用小亮的结果，有∠ABD＋∠CBD=∠AOD＋∠COD∠ABC=∠AOC．

对于书上图

（2）中，圆心O在∠ABC的外部，作直径BD．利用小亮的结果，有∠ABD－∠CBD=∠AOD－∠COD∠ABC=∠AOC．

4．问题（P104）解答：

（1）这一问题实际上是本节一开始提出的问题，解决这一问题的时机已经成熟．∠ABC、∠ADC、∠AEC是同弧（）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于圆心角∠AOC的一半，所以这几个圆周角相等．

（2）这是圆周角定理的一种特殊情况，即半圆所对的圆周角是直角，在教科书图3-18中，半圆所对的圆心角是∠BOC=180°

，所以∠BAC=90°

．

（3）这一问题与问题

（2）互逆，在教科书图3-19中，连接OB，OC．因为圆周角∠BAC=90°

，所以圆心角∠BOC=180°

，即BOC是一条线段，也就是说BC是⊙O的一条直径．

5．议一议（P105）解答：

在得出本节的结论的过程中，用了度量与证明，分类与转化，以及类比等方法．尤其定理的证明，把圆周角和圆心的位置关系分为三类，又把第2，3类转化为第一类去证明，体现了分类与转化的数学思想．

6．做一做（P106）解答：

（1）船位于暗礁区域内（即⊙O内）．

理由是：

假设船在⊙O上，则有∠α=∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；

假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能位于⊙O外．

（2）船位于暗礁区域外（即⊙O外）说理方法与

（1）类似．

三、重点难点易错点讲解

圆周角的概念、圆周角定理及其推论在推理论证和计算中应用比较广泛，是本章的重点内容之一．认识圆周角定理需分三种情况逐一证明的必要性是本节的难点．

圆周角有两个特征：

（1）角的顶点在圆上；

（2）角的两边都与圆相交，二者缺一不可．这里所说的角的两边都与圆相交可理解为，除角的顶点外，角的各边与圆还另有一个公共点即交点．

圆周角定理的证明分三种情况进行讨论，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当注意掌握．其证明思路是：

（1）将已知图形中各种可能位置进行分类（圆心在圆周角内部，外部，其中一边上）；

（2）先证明特殊情况（即圆心在圆周角其中一边上）；

（3）利用特殊位置的结论证明其它情况，即将其他情形转化为已证的特殊情形来证；

（4）归纳总结出一般性结论．这种方法叫归纳法，可以应用于解题之中．

本节常见的错误有：

（1）一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角有两个，做题时常常忽略一个；

（2）对于需要我们自己完成的图形，某些特殊图形往往只画出一种情况，而忽略或根本不考虑其他情况．

【例1】已知⊙O中的弦AB长等于半径，求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数．

错解：

如图3-3-4，∵AB=OA，∴△OAB为等边三角形．∴∠AOB=60°

．∴∠C=30°

．∴AB所对的圆心角为60°

，圆周角为30°

正确解法：

如图3-3-5，∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形．∴∠AOB=60°

．∴∠D=150°

．∴弦AB所对的圆心角为60°

，所对的圆周角为30°

或150°

错解分析：

错解中忽略了弦与弧的差别，同弧所对的圆周角相等，同弦所对的圆周角相等或互补，本题漏掉一个．同学们应加强位置意识的培养，克服思维定势．

【例2】已知AB为⊙O的直径，AC和AD为弦，AB=2，AC=，AD=1，求∠CAD的度数．

如图3-3-6，连接BC、BD．

∵AB为直径，∴∠C=∠D=90°

在Rt△ABC中，AB=2，AC=，∴cos∠CAB==．∴∠CAB=45°

在Rt△ADB中，AD=1，AB=2，∴cos∠DAB==．∴∠DAB=60°

∴∠CAD=∠DAB＋∠CAB=105°

如图3-3-6和3-3-7，

由题解中得∠DAB=60°

，∠CAB=45°

，

∴图3-3-7中有∠DAC=∠DAB－∠CAB=15°

∴∠DAC的度数为15°

或105°

解错分析：

错解中只考虑到弦AC和AD在直径AB同侧的情况，而忽略了AD和AC在AB两侧的情况，因此平时做题一定要细心，思考问题要全面，克服思维的片面性、单一性．

四、经典例题精讲

（一）教材变型题

【例1】如图3-3-8，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

思维入门指导：

已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题．

解：

∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°

在Rt△ACB中，BC===8．

∵CD平分∠ACB，∴=．∴AD=BD．

在Rt△ADB中，AD=BD=AB=5（cm）．

点拨：

这是利用圆周角定理的推论，同圆中，弧、弦之间的相等关系以及勾股定理解的计算题．

（二）中考题

【例2】（2002，眉山，10分）已知等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过O2，点C是上任一点（不与A、O2、B重合），连接BC并延长交⊙O2于D，连接AC、AD．求证：

．

（1）操作测量：

图3-3-9（a）供操作测量用，测量时可使用刻度尺或圆规将图3-3-9（a）补充完整，并观察和度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察或度量说出三条线段之间存在怎样的关系？

（2）猜想结论（求证部分），并证明你的猜想；

（在补充完整的图3-3-9（a）中进行证明）

（3）如图3-3-9（b），若C点是的中点，AC与O1O2相交于E点，连接O1C，O2C．求证：

CE2=O1O2·

EO2．

（1）AC=CD=AD；

（2）由△AO1O2为等边三角形，求出∠D和∠ACD都为60°

即可；

（3）由△O1O2C∽△CO2E可得O2C2=O1O2·

EO2，再证明O2C=CE．

（1）补充完整图形，三条线段AC、CD、AD相等．

（2）结论：

△ACD是等边三角形．

证明：

连接AO2、BO2、AO1、O1O2．

∵⊙O1，⊙O2是等圆，且⊙O1经过点O2，∴AO2=O1O2=AO1．∴∠AO2O1=60°

∴∠AO2B=120°

．∴∠D=∠AO2B=×

120°

=60°

∵∠ACB=∠AO2B=120°

，∴∠ACD=60°

．∴△ACD是等边三角形．

（3）∵C是的中点，∴∠CO1O2=30°

∵∠ACO2=30°

，∴∠CO1O2=∠ACO2．

∵∠O1O2C=∠CO2E，∴△O1O2C∽CO2E．∴．

∴O2C2=O1O2·

O2E．∵O1O2=O1C，∴∠O1O2C=∠O1CO2=∠CEO2．

∴CO2=CE．∴CE2=O1O2·

为了研究两圆相交时图形所蕴含着的规律性关系，以更好地考查动手操作图形的能力，这种以留空回填的命题思路，展示了一道融操作、测量、猜想，证明于一体的探究题．解答时，应按题的要求顺向逐层思考．

【例3】（2003，贵阳，12分）如图3-3-10所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：

AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．

根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算．

（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°

∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°

．∴AC⊥OD．

（2）∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线．

∴OD=BC=×

4=2（cm）．

（3）∵2sinA－1=0，∴sinA=．∴∠A=30°

．在Rt△ABC中，∠A=30°

，∴BC=AB．∴AB=2BC=8（cm）．即⊙O的直径是8cm．

关键是利用直径所对的圆周角是直角得到直角三角形，一切就迎刃而解．

【例4】（2003，陕西，3分）如图3-3-11所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=．

∠1所对的弧是，∠2所对的弧是，而＋=是半圆，因此连接AD，∠ADB的度数是90°

，所以∠ADB=∠1＋∠2．

∠1＋∠2=90°

本题可以连接EO，得到圆心角∠EOA和∠EOB而∠EOA＋∠EOB=180°

，所以∠1＋∠2=90°

，这是圆周角定理的直接应用．

【例5】（2003，台湾，3分）如图3-3-12所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列斜述何者正确（）

A．∠APB为锐角B．∠AQB为直角C．∠ARB为钝角D．∠ASB＜∠ARB

AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB，∠AQB，∠ARB，∠ASB都是直角．

答案：

B点拨：

由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°

（三）学科内综合题

【例6】如图3-3-13，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．

（1）求证：

△DOE是等边三角形；

（2）如图3-3-14，若∠A=60°

，AB≠AC，则①中结论是否成立？

如果成立，请给出证明；

如果不成立，请说明理由？