北京交通大学第一学期《概率论》期中试题答案Word文档下载推荐.docx

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得分

阅卷人

请注意：

本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！

一.（满分6分）已知

，

，求

。

解：

由概率加法公式

由概率乘法公式

----2分

----4分

二.（满分8分）甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?

解以

表示事件“第

次投掷时投掷者才得6点”.事件

发生,表示在前

次甲或乙均未得6点,而在第

次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有

因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为

--------4分

同样,乙胜的概率为

．--------4分

三.（满分12分）

（1）已知随机变量

的概率密度为

求

的分布函数.

（2）已知随机变量

的分布函数为

另外有随机变量

试求

的分布律和分布函数.

解

（1）由于

当

时,分布函数

故所求分布函数为

———5分

（2）

分布律为

-11

——4分

分布函数为

———3分

四（满分10分）投掷一硬币直至正面出现为止,引入随机变量

投掷总次数.

（1）求

和

的联合分布律及边缘分布律.

（2）求条件概率

解

（1）

的可能值是0,1,

的可能值是

（因

必定首次得正面,故

若

首次得正面是不可能的,故

必须首次得正面,故

当

必定首次得反面,故

综上,得

的分布律及边缘分布律如下:

1234…

00

…

1

000…

…1———6分

（2）

———4分

五（满分10分）一等边三角形

（如下图）的边长为1,在三角形内随机地取点

（意指随机点

在三角形

内均匀分布）.

（1）写出随机变量

的概率密度.

（2）求点

的底边

的距离的分布密度.

解

（1）因三角形

的面积为

故

——3分

（2）点

到底边

的距离就是

因而求

到

的距离的分布函数,就是求

关于

的边缘分布函数,现在

从而

——4分

六（满分8分）设随机变量

具有概率密度

（1）求边缘概率密度

（2）求条件概率密度

解

（1）当

时,

时,

故边缘概率密度分别是

（2）条件概率密度:

七．（满分8分）设有随机变量

，它们都仅取

两个值．已知

（1）求

的联合分布密度.

（2）求

的方程

至少有一个实根的概率.

（3）求

解

（1）

的联合分布密度为

-11/62/6——4分

12/61/6

（2）方程

当且仅当在

时至少有一实根,因而所求的概率为

——2分

（3）方程

八．（满分6分）某图书馆一天的读者人数

任一读者借书的概率为

各读者借书与否相互独立.记一天读者借书的人数为

求

与

的联合分布律.

解读者借书人数的可能值为

=

九．（满分8分）将一颗骰子掷两次,考虑事件

“第一次掷得点数2或5”,

“两次点数之和至少为7”，求

并问事件

是否相互独立.

解将骰子掷一次共有6种等可能结果,故

设以

表示第

次掷出骰子的点数,则

因将骰子掷两次共有36个样本点,其中

有

共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故

----4分

以

记两次投掷的结果,则

共有（2,5）,（2,6）,（5,2）,（5,3）（5,4）,（5,5）,（5,6）这7个样本点.故

今有

按定义

相互独立.----4分

十（满分10分）产品的某种性能指标的测量值X是随机变量,设X的概率密度为

测量误差Y~U（

）,X,Y相互独立,求Z=X+Y的概率密度

并验证

解

（1）Y的概率密度为

故Z=X+Y的概率密度为

仅当

即

时上述积分的

x

x=z+ε

Oy

x=z+ε

图4

被积函数不等于零,参考图4,即得

[Ⅰ+Ⅱ]

其中Ⅰ=

Ⅱ=

于是

[Ⅰ+Ⅱ]=

——4分

十一.（满分6分）

----4分

----2分

十二（满分8分）

-----2分

-----4分