高考数学专题14定积分求值问题黄金解题模板Word文档格式.docx
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A选项,
,所以A正确;
B选项,
,所以B正确;
C选项,根据偶函数图象及定积分运算性质可知,C正确;
D选项错误。
考点:
定积分的计算。
【变式演练2】若
则
的大小关系为()
【答案】B
定积分运算
【变式演练3】
()
C.
【答案】A
定积分的应用.
【变式演练4】若
,则
的值是___________.
【答案】
由
,得
,所以
.
定积分的运算.
【变式演练5】
_____________.
由题意得
定积分的计算.
【变式演练6】设
若
.
【答案】1
1.函数的表示;
2.定积分运算.
【变式演练7】如图,阴影部分的面积是()
【答案】C
面积为
定积分.
类型二利用定积分的几何意义求定积分
被积函数的原函数不易求出
第一步画出被积函数的图像;
第二步作出直线计算函数
所围成的图形;
第三步求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
例2计算定积分
.
【变式演练8】设
故选A.
【变式演练9】定积分
B.
C.
D.
令
则
故应选C.
定积分及运算.
【变式演练10】
______.
因为
,
,
等于以原点为圆心,以
为半径的圆的面积的四分之一,即为
,故答案为
1、定积分的应用;
2、定积分的几何意义.
【变式演练11】已知
展开式的常数项为15,则
___________
的展开式的通项公式为
,求得r=2,故常数项为
,可得a=1,
因此原式为
二项式定理;
微积分基本定理
【变式演练12】已知数列
为等差数列,且
等差数列性质及定积分.
类型三导数与定积分的综合应用
例3如图所示,抛物线
与
轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在
轴上.已知工业用地每单位面积价值为
元
,其它的三个边角地块每单位面积价值
元.
(1)求等待开垦土地的面积;
(2)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值最大.
(1)
(2)点C的坐标为
1.定积分;
2.函数的最值.
【变式演练13】给定可导函数
,如果存在
,使得
成立,则称
为函数
在区间
上的“平均值点”.
(1)函数
上的平均值点为;
(2)如果函数
上有两个“平均值点”,则实数
的取值范围是.
(1)1;
(2)
结合图像不难得到
新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系
【变式演练14】已知函数
函数
(1)当
时,求函数
的表达式;
(2)若
在
上的最小值是2,求
的值;
(3)在
(2)的条件下,求直线
与函数
的图象所围成图形的面积.
(3)
(2)∵由
(1)知当
时,
∴当
时,
当且仅当
时取等号.
∴函数
上的最小值是
∴依题意得
∴
.
(3)由
解得
∴直线
的图象所围成图形的面积
=
导数及函数单调性、定积分的应用.
【变式演练15】如下图,过曲线
:
上一点
作曲线
的切线
交
轴于点
,又过
作
轴的垂线交曲线
于点
,然后再过
作
,以此类推,过点
与
轴相交于点
,再过点
(
N
).
(1)求
、
及数列
的通项公式;
(2)设曲线
与切线
及直线
所围成的图形面积为
,求
的表达式;
(3)在满足
(2)的条件下,若数列
的前
项和为
,求证:
(1)
(2)
(3)见解析.
证法1:
(数学归纳法)
①当
时,显然
成立;
②假设
时,
成立,则当
而
时,也成立,由①②知不等式
对一切
都成立.
证法2:
所以不等式
证法3:
当
上单调递增.∴当
∵
∴
即
.∴
∴不等式
1、利用导数求切线方程;
2、数列的运算;
3、定积分计算图形面积.
【高考再现】
1.【2015高考湖南,理11】
.
2.【2015高考天津,理11】曲线
与直线
所围成的封闭图形的面积为.
【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象,解议程组
得两曲线的交点坐标为
,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积
【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.
【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范,既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.
3.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.
【考点定位】1、定积分;
2、抛物线的方程;
3、定积分的几何意义.
【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义,即由直线
和曲线
所围成的曲边梯形的面积是
【反馈练习】
1.【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学(理)试题】若
的大小关系()
A.
B.
C.
D.
2.【2018届江西省高三年级阶段性检测考试
(二)理科数学】
A.7B.
D.4
故选:
C
3.【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题】如图所示,正弦曲线
,余弦曲线
与两直线
所围成的阴影部分的面积为()
A.1B.
C.2D.
,选D.
4.【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试(理)数学试题】已知等比数列
,且
【解析】由定积分的几何意义,
表示圆
在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积,即
=4
,所以
.又因为
为等比数列,所以
.故选D.
5.【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考
(一)数学理试题】曲线
,直线
和
轴所围成的区域的面积是____________
【答案】2e﹣1.
6.【2018届江西省高三年级阶段性检测考试
(二)理科数学】由曲线
所围成图形的面积是
__________.
【解析】由
,得图象的交点坐标为
所以曲线
故答案为:
1
点睛:
用定积分处理面积问题的方法:
牛顿-莱布尼茨定理,几何意义,奇偶性.
7.【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学(理)试题】已知函数
__________.
【解析】由题意结合定积分的法则可得:
8.【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学(理科)】
9.【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示,由直线
及
轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间,即
.类比之,若对
,不等式
恒成立,则实数
等于__________.
【答案】2