解三角形知识点及题型归纳总结Word格式.docx
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2.22
_abc,t,
cosC（已知三边求角）
2ab
题型归纳及思路提示
余弦定理的应用:
1
Sabc—ah
absinC
—bcsinA
-acsinB
①已知两边及夹角求解第三边；
②已知三边求角；
③已知两边及一边对角不熟第三边
4.三角形面积公式
题型1正弦定理的应用
思路提示
（1）已知两角及一边求解三角形;
（2）已知两边一对角；
.
大角求小角一解（锐）
两解—sinA1（一锐角、一钝角）
无解—sinA1
（3）两边一对角，求第三边「、利用正弦定理解三角形
5
例4.39已知ABC中，cosA,sinB
13
分析已知两角及一边用正弦定理.
-,a1求cosC及边长c
解析因为A,B,C为ABC的内角，所以有
cosC
cos[（AB）]cos（AB）
cosAcosBsinAsinB.因为A
（0,）,且cosA-0,
12
（0,）,sinA.由此知sinAsinB0,据正弦定理得a
2―
3
得cosB
54
故cosC
135
所以A
sinB
4
J
123
135
b所以
AB,因此B（02）,且
P因此sinC
65
c
由正弦定理得
sinC
asinCsinA,得c歸
评注本题已知两角及一边，用正弦定理：
在
ABabsinAsinB.
63
65.
163
65空
1220
ABC中，
变式1在ABC中，角A,B,C所对边依次为
a,b,c,a；
2,b2,
sinBcosB.2,则角A的大小为
例4.40在ABC中，角代B,C所对边依次为a,b,c,B
30o,c
6,记bf（a）.若函数
g（a）f（a）k（k是常数）只有一个零点，则实数k的取值范围是（
A.{kOk3或k6}
B.{k3k6}
C.{kk6}D.{kk
6或k3}
分析三角形问题首先根据题意画出三角形，AC的最小值为EC边的垂线段,
求解.
再根据零点的意义及函数
解析由g（a）f（a）k
0,且bf（a）.,得kf（a）b,如图4—34所示，由B30o,c6,知A
c边和的最小值为csinB
3,唯一的a（BC）符合f（a）k即若k3,则
f（a）b3,此时存在函数
g（a）有唯一零点，若3k
6时，贝Uf（a）b（3,6）,此时以点A为圆心,
b边为半径的圆与EC边及
延长线有两个父点G,C2,如图4一34所示，则存在两个a值（a1BC1,a2
BC?
）,使得g（a）f（a）k
有两个零点.若k6时，贝Uf（a）b6,则以点A为圆心，b边为半
[S4-34
径的圆与EC边及延长线（除点E外）
故函数g（a）有唯一零点.综上，实数
形，抓住已知量，充分想到三角形的边角关系及正弦定理,
评注三角形问题一般先根据题意作出图并尽可能转化和构造直角三角形•
变式1
（1）在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b3、、2,a2,如果三角形有解，则
角A的取值范围是；
⑵在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b1,a2,如果三角形有解，则角B的取值范
围是；
（3）在ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2、.3,c3,如果三角形有解，则角C的取
值范围是
二、利用正弦定理进行边角转化
a
例4.41在ABC中，若A=2B,则一的取值范围为（）
b
A.（1,2）B.（1,、、3）C.（、.2,2）D.（.2,..3）
分析题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再由角的范围来定边的范围
asinAsin2B
解析由正弦定理知一
bsinBsinB
1a
cosB（—,1）,所以（1,2）.故选A.
角时，一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式来求解
变式1
（1）若在锐角ABC中，若A=2B,则一的取值范围为
（2）若在直角ABC中，若A=2B则一的取值集合为；
（3）若在钝角ABC中，若A=2B则旦的取值集合为.
变式2在ABC中，B60o,AC.3，则AB+2BC的最大值为
变式3已知a,b,c,分别为ABC三个内角代B,C的对边，acosC,3asincbc0，
变式4（2012江西理17）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A—，
bsin（C）csin（B）a,
44
（1）求证：
BC;
（2）若av2，求ABC的面积.
题型2余弦定理的应用
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
0,则ABC为锐角三角形
若余弦值0,则ABC为直角三角形
0,则ABC为钝角三角形
、利用余弦定理解三角形
例4.42在ABC中，b1,cJ3,C——，则①a=.②B
分析已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理
解析①由余弦定理得，C2
2a
b2
2abcosC
，得3
212a（^）,
即
a2a
20，且a
0,
故
a1.
.3
得
②由正弦定理得，
，即
3，
sinB，又
sinC
BC，则
B
o
30
变式1在
ABC中，a
3,b
2、、6,B2
代，
（1）
求cosA的值；
（2）
求c的值
变式2在
ABC中，若a
2,b
7,cosB
45
则
b.
4,
变式3已知ABC的三边长成公比为、、2的等比数列，则其最大角的余弦值为
值为-.故选C.
二、利用余弦定理进行边角转化
11,则cosB业二，得
2cosB2
（边化角）已知等式可变化为-—c—btanB
2ac
SinB¥
，B（°
，），所以B3或1故选D.
（2cb）sinC.
变式1在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且2asinA（2bc）sinB
（1）求A的值；
（2）求sinB+sinC的最大值•
变式2在锐角三角形中，角代B,C所对边分别为a,b,c,若b+-=6cosC，则^anC+^tanC=
abtanAtanB
变式3在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且
22
a-c=2b,sinAcosC=3cosAsinC，求b.
题型3判断三角形的形状
（1）求最大角的余弦，判断ABC是锐角、直角还是钝角三角形•
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形
例4.45在ABC中，若sinC=2cosAsinB，则此三角形必为（）•
A.等腰三角形
B等边三角形
C・直角三角形
D.
等腰直角三角形
分析
角化边或sinC=sin（A+B）・
解析
解法一
:
角化边•c=2
「222
b+ca
2c
c2a2ba，则三角形为等腰三角形,
2R
2bc
故选A
解法二:
因为
sinC二sin（A+B）,
所以sinAcosBcosAsinB
2cosAsinB
sinAcosB
cosAsinB0,
sin（A
B）
0,ABk（k
Z）,A,B（0,
）
k
AB，则三角形为等腰三角形，故选A・
变式1设ABC的内角为A,B,C所对边分别为a,b,c,若bcosCccosBasinA,贝yABC的形状为
（）•
A・锐角三角形B钝角三角形C・
直角三角形
不确定
变式2（2012上海理16）在ABC中，
若sin2A
・2sin
Bsin2C，贝VABC的形状为（
变式3已知ABC中，cos2，贝yABC的形状为（）•
22c
A・直角三角形B等腰三角形或直角三角形C・正三角形D・等腰直角三角形
变式4
（1）已知函数f（x）cos2x2、、3sinxcosxsin2x.
求f（x）的最小正周期和值域;
（2）在ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,若f（A）2且a2be，试判断ABC的形状•
题型3正、余弦定理与的综合
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求
解•
AB;
（2）求边长c的值；
uuuuiur
（3）若ABACV6，求ABC的面积•
分析（3）中ABAC为YABCD对角线AD长，由平行四边形对角线性质可求出AC=BC设AB中点为M,
SabcABCM
利用数量积定义,
解析
（1）
题型4解三角形的实际应用思路提示
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解.
例4.47如图4-36所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到
C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B
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