几何图形的基本模型Word格式文档下载.docx

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位置关系是

（2）如图②，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，AB﹥AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？

请说明理由。

（3）如图③，在

（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明。

模型二：

双子型（手拉手模型）——相似

（1）一般情况

CD∥AB（ΔOCD∽ΔOAB）,将ΔOCD旋转至右图位置

右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB③点E在ΔOAB的外接圆上。

（2）特殊情况

CD∥AB（ΔOCD∽ΔOAB）,∠AOB=∠COD=900将ΔOCD旋转至右图位置

右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=900（BD⊥AC）

③连接AD,BC,则SABCD=

AC×

BD④

⑤点E在ΔOAB的外接圆上（A,O,E,B四点共圆）⑥必有AD2+BC2=AB2+CD2

以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=300

（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.

1如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，

=

2如图2，将图1中△AOB的绕点O沿顺时针方向旋转α角（00＜α＜600），其他条件不变，判断

的值是否发生变化，并对你的结论进行证明

（3）如图3，若B0=3

，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将

ΔOAB绕点0旋转过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为。

=

模型三:

对角互补模型

（1）全等型-900

条件:

①∠AOB=∠DCE=900②OC平分∠AOB

结论:

①CD=CE②OD+OE=

OC③

当∠DCE的一边交AO的延长线于点D时

①CD=CE②OE-OD=

OC③SΔOCE-SΔOCD=

OC2

（2）全等型-1200

①∠AOB=2∠DCE=1200②OC平分∠AOB

①CD=CE②OD+OE=OC③

例题1如图，D为等边ΔABC外一点，若∠BDC=1200，求证:

AD平分∠BDC

（典型例题：

等边三角形+对角互补，求证角平分线）

例题2如图，D为等边ΔABC外一点，若AD平分∠BDC，求证:

∠BDC=1200

等边三角形+角平分线，求证对角互补）

例题3如图，D为等边ΔABC外一点（BD＜CD），若∠BAC=600,,若∠BDC=1200

AD平分∠BDC，求证:

AB=AC

对角互补+角平分线，求证等边三角形）

模型四:

角含半角模型900

（1）角含半角模型900-1

①正方形ABCD；

②∠EAF=450

①EF=DF+BE②ΔCEF周长是正方形ABCD周长的一半③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF

也可以这样：

①正方形ABCD②EF=DF+BE

①∠EAF=450

（2）角含半角模型900-2

①EF=DF–BE

（3）角含半角模型900-3

①等腰直角ΔABC②∠DAE=450

BD2+CE2=DE2

若∠DAE旋转到ΔABC外部时，结论BD2+CE2=DE2仍然成立

（4）角含半角模型900-变形

②∠EAF=450

①ΔAHE为等腰直角三角形②A、B、E、H四点共圆③G、E、F、H四点共圆

例题1已知，正方形ABCD中，∠MAN=450绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N

（1）当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：

BM+DN=MN

（2）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM,DN和MN之间的数量关系是

（3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样数量关系呢？

并对你的猜想加以说明。

例题2如图，抛物线y=ax2+bx+4过A（2,0）,B（4,0）两点，交轴于y轴点C，过点C作x轴的平行线与抛物线的另一交点为D，连接AC,BC。

点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m（m﹥4）。

（1）求抛物线的函数解析式和的∠ACB正切值。

（2）若∠ACP=450，求m的值

模型五:

倍长中线模型

（1）倍长中线类模型-1

①矩形ABCD②BD=BE③DF=EF

AF⊥CF

（2）倍长中线类模型-2

①平行四边形ABCD②BC=2AB③AM=DM④CE⊥AD

∠EMD=3∠MEA

例1已知：

如图，ΔABC中，AB=4,AC=6,AD为BC边上的中线，则线段AD的取值范围是

例2如图：

已知ΔABC中，AD是中线，AE是BD的中线，BA=BD,求证：

AC=AE

模型六:

（1）相似三角形模型——基本型

DE∥BC

①ΔADE∽ΔABC②

③

（2）相似三角形模型——反A型

∠ACD=∠B条件:

∠ADE=∠B

①ΔACD∽ΔABC②AC2=AD˙AB结论:

①ΔADE∽ΔABC②

（2）相似三角形模型——直角母子型（射影定理）

AC⊥BC,CD⊥AB

①AC2=AD˙AB②BC2=BD˙AB③CD2=AD˙BD

（3）相似三角形模型——一线三等角型（K型相似）

∠B=∠ACE=∠D

①ΔABC∽ΔCDE②AB˙DE=BC˙CD（一线三等角模型也经常用来建立方程或函数关系式）

特别地，当C为DB中点时,ΔABC∽ΔCDE∽ΔACE

（4）相似三角形模型——圆幂定理型

图2图3

如图1，相交弦定理：

PA˙PB=PC˙PD

如图2，切割线定理:

PA2=PB˙PC

如图3，割线定理：

例题1如图，ΔABC和ΔDEC均为直角三角形。

∠ACB=∠DCE=900,AC=

BC=

CD=

CE=1.将ΔDEC绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角为∠BCD为α（00α＜3600），作直线BD，连接AD，当点B,D,E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长

例题2在ΔABC和ΔADE中，BA=BC,DA=DE,且∠ACE=∠ADE,点E在ΔABC的内部，连接EC,EB和BD，设EC=k˙DB（k≠0）.

（1）当∠ACE=∠ADE=600时，如图1，请求出k值，并给予证明

（2）当∠ACE=∠ADE=900时，

1如图2，

（1）中的k值是否发生变化，如无变化，请给予证明；

如有变化，请求出

k值，并说明理由。

2如图3，当D,E,C三点共线，且E为DC中点时，请求出tan∠EAC的值

模型七:

十字架模型

（1）正方形内的十字架型

①正方形ABCD②BF⊥AE（EF⊥GH）

AE=BF（EF=GH）

（3）矩形内的十字架型

①矩形ABCD②BD⊥CE（EF⊥GH）

（

）

例题1如图，在正方形ABCD上，H在BC上，EF⊥AH于点G，交AB于点E交DC于点F。

若AB=3，BH=1求EF的长

例题2将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13cm，则线段CE的长为

例题3如图，若BA=BC=6,DA=DC=8，∠BAD=900,DE⊥CF,请求出DE:

FC的值

模型八:

“定边对定角”模型

“定边对定角”动点成“隐圆”

AB为定值，点P为动点，且∠APB=a（a为定角）

①点P在以AB为弦的圆弧上运动

②心在AB中垂线上，圆心角为2a（a为锐角）或3600-2a（a为钝角）

例题1如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°

，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）

3A．

4B．

5C．5

6D．

7

例题2如图，RtABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是ΔABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为?

例题3如图，在边长为2

的等边△ABC中，AE=CD,连接BE,AD相较于点P，则CP的最小值为

模型九:

“12345”模型

若用符号“2”表示正切值为2是锐角，其余类似，则有如下结论：

例题1如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在AB,AD上,若，且CE=3

ECF=450，则CF的长为

例题2如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像y=2x-1分别交x、y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针旋转450，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是