对角互补模型+培优练习Word格式.docx

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旋补法

延长CD到E，作等腰△ACE

∴AC=AE，∠AEC=∠ACE=∠ACB

又∵∠B+∠D=180°

∴∠B=∠ADE

∴△ABC≌△ADE

∴AB=AD

其实①∠B+∠D=180°

②AC平分∠BCD③AB=AD

只要给出其中任意俩个条件，必定能推出第三个，

大家可以自己用双垂法试试。

结论②BC+CD=2ACcosθ

过A作AF⊥CD

由结论①可知：

△ACE为等腰三角形，且BC=DE

∴BC+CD=CE=2CF

又∵CF=ACcosθ

∴BC+CD=2CF=2ACcosθ

结论③四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC²

sinθcosθ

∵黄≌绿，把黄割补到绿的位置

∴四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积

∵ACE的面积=AF*CF

（其中AF=ACsinθ,CF=ACcosθ）

∴四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC²

sinθcosθ

特别地，当∠BCD=120°

时，BC+CD=2ACcos60°

=AC

四边形ABCD面积=正三角形ACE面积

特别地，当∠BCD=90°

时，BC+CD=2ACcos45°

=

AC

四边形ABCD面积=等腰直角三角形ACE面积

对角互补专题探究

（一）

基本图形：

如图1，在四边形FBDE中，∠EDF+∠EBF=1800，旋转∠FBE得到∠HBI，求证：

△FBH∽△EBI;

如图2，在四边形FBDE中，∠EDF+∠EBF=1800，连接BD，∠DBE=∠CBF,若△BCD为等边三角形，探究：

线段DE、DF、BD之间的数量关系________________________;

如图3，在四边形FBDE中，∠EDF+∠EBF=1800，连接BD，∠DBE=∠CBF,若BD⊥DC,∠DCB=30°

探究：

线段DE、DF、BD之间的数量关系______________________;

例1.已知直角梯形ABCD,AD∥BC,∠A=900,∠EBF=∠C.

（1）当AD:

AB=1:

∠C=600时，如图1所示，求证：

DE+DF=BC;

（2）.当AD:

1,∠C=450时，如图2所示，则线段DE、DF、BC之间的数量关系_______________；

（3）.在

（2）的条件，如图3所示，若AB=2时，3BM=MC,连接AF、FM,若AF与BE交于点N,当∠AFM=450时,求线段NF的长度.

变式训练：

1.已知直角梯形ABCD，AD∥BC,AD=

AB,∠A=900,∠C=600,DH⊥BC于H,P为BC上一点，作∠EPF=600,此角的两边分别交AD于E,交CD于F.

（1）.如图1，当点P在点B处时，求证：

2AE+CF=2CH;

（2）.如图2，当点P在点H处时，线段AE、CF、CH的数量关系为____________________;

（3）.在

（2）的条件下，连接FB、EF,FB与FH交于点K,若AB=

EF=

求线段FK的长度.

2.已知平行四边形ABCD,∠C=60°

，点E、F分别为AD、CD上两点∠EBF=∠C.

（1）.如图1，当AB=BC时，求证：

CF+AE=BC；

（2）.如图2，当AB=

BC时，线段：

CF、AE、BC三者之间有何数量关系_______________;

（3）在

（2）的条件下如图3，若AB=6,连接EC与BF交于M,当△BEM为等边三角形时，求线段FM的长.

例2.已知：

△ABC中，∠ACB=900,∠B=300,点P为边AB上的一点,∠EPF=900,PF与边AC交于点F,PE与边BC交于点E.设AP:

PB=

（1）如图1，当

时，则：

AF+_____BE=

AB;

（2）.如图2，当

=1时，线段AF、BE、AB的数量关系为___________________;

（3）.在

（2）的条件下，如图3，连接CP,EF交于点K,将FP沿着EF对称，对称后与CP交于点M,连接ME,若AC=3,当ME∥FP时，求tan∠CEM的值.

1.等边△ABC中，BH为AC边上的高，点P为AB边中点，∠EPF=900,此角的两边与AC边交于点F,与高BH交于点E.

（1）如图1，求证:

FH+

BE=

（2）如图2，则线段FH、BE、AB之间满足的关系式为____________;

（3）如图3，在

（2）的条件下，连接EF，直线EF与BC交于点N，将FN沿着FP对称，对称后与AB交于点M,若AC=

AM:

BM=1:

3,时，求BN长度.

对角互补专题探究

（二）

1.直线m∥n，点A、B分别在直线m、n上，且点A在点B的右侧.点P在直线m上，AP=

AB,连接BP,

以PB为一边在PB右侧作等边△BPC，连接AC.过点P作PD⊥n于点D.

（1）当点P在A的右侧时（如图1），求证：

BD=

（2）当点P在A的左侧时（如图2），线段BD与AC之间的数量关系为_______________.

（3）在

（2）的条件下，设PD交AB于点N，PC交AB于点M（如图3）.若△PBC的面积为

，求线段MN的长.

2.如图，直线y=-

kx+4k（k＞0）与x轴交于B,与y轴交于D,点O与点C是关于直线BD对称，连接BC,若AC=

.

（1）求k的值；

（2）点P为OB的中点，动点E从点B出发，每秒1单位速度沿BH向点H运动，过点P做PE的垂线交AC于点F,当点F与点O重合时点E停止运动.设运动时间为t秒，△PHF面积为S，写出S与t点函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

（）连接PH,是否存在t值，使得tan∠FPH=

，若存在请求t值，若不存在，说明理由.

对角互补专题探究（三）

例1．已知：

四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC，点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），△AEP为直角三角形，∠AEP=90°

，∠P=30°

，过点E作EM∥BC交AF于点M．

（1）若∠BAD=120°

（如图1），求证：

BF+DE=EM；

（2）若∠BAD=90°

（如图2），则线段BF、DE、EM的数量关系为_____________.

（3）在

（1）的条件下，若AD：

BF=3：

2，EM=7，求CE的长．

1.已知：

矩形ABCD中

，点E、F分别在CD、CB上运动，且

（角α为锐角）,过E作EM∥BC交AF于点M,探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________________________.

（1）当K=

，

=45°

时，___________________________.

（2）当K=

=60°

（3）当K=

=30°

2.如图：

已知四过形ABCD中

、∠DAB=∠BCD=90°

（角α为锐角）,过E作EM∥BC交AF于点M，探究BF、DE、ME之间的数量关系为_______________.

对角互补专题探究（四）

例2.已知:

四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°

∠EAF=30°

过F作FM∥BC交AE于M.

（1）当∠BAD=60°

时（如图1所示），求证︰BE+FD=FM；

（2）当∠BAD=90°

时（如图2所示），则线段BE，DF,FM的数量关系为_______________；

（3）在

（1）的条件下（如图3所示），连接DB交AE于点G，交AF于点K，交MF于点N，

若BG:

DK=3:

5，FM=14时，KN的长.

1．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD=∠ADC，点F在CD边上运动（点E与C、D两点不重合）

（1）若∠BAD=90°

（如图l），AD=2AB，∠EAF=450，求证：

DF+2BE=FG

（2）若∠BAD=150°

（如图2），AB=AD,∠EAF=300,则DF、BE、FG的数量关系为.

（3）在

（1）的条件下（如图3）DF=4AB=6,直线AF交直线BG于点H，求GH的长.

2.已知：

四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=kAD,∠BAD=∠ADC,点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），将AE绕点A顺时针旋转30°

后与BC边交于点F，过点E作EM∥BC交AF于点M.

（1）若k=1,∠BAD=120°

（如图1），求证:

DE+BF=

ME.

（2）若k=

∠BAD=90°

（如图2），则线段DE、BF、ME的数量关系为.

（3）在

（1）的条件下，若CE=2，AE=

求ME的长.

对角互补专题探究（五）

例3.如图1，正方形ABCD中，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边BC于Q，交边AB的延长线于N.

（1）求证DP=MN;

（2）若PC：

PB=1:

3，那么线段QE与QN的数量关系为______________________;

（3）如图2，连接BD、MP，绕着点P旋转∠CPM，角的两边分别交边AB、AD于点H、K，交边CD于点R，当四边形DBQM的面积为24，MR：

RC=1：

2时，求.

在正方形ABCD中，P为直线AD上一点，连接BP,以BP为底边作等腰直角三角形△PBE,

连接AE.

（1）如图1，当点P在线段AD上时，求证：

AB+AP=

AE;

（2）如图2,当点P在线段DA的延长线上时，线段AB、AP、AE的数量关系是

（3）在

（2）的条件下，过点A作AF∥PE,AF交BC的延长线于F,过点C作∠DCF的平分线，交AF于点H,若AB=4,四边形PBEA的面积为5，求线段CH的长.

2.已知等边三角形ABC，点D为BC的中点，∠NDM=120°

两边分别交直线AC、AB分别于点M、N.

（1）如图1，求证：

MC=

AB+BN；

（2）如图2，线段MC、AB、BN的数量关系是；

（3）在

（2）的条件下，将∠NDM的两边DM、DN分别反向延长，交AB、AC的延长线分别于点E、F，连接EF若BN=1，CM=2，求EF的长.