考研数三真题及答案解析完整版Word文件下载.docx
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（A）（B）（C）（D）
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
所以，应该选（B）．
４．设为正项数列，则下列选择项正确的是（）
（A）若，则收敛；
（B）若收敛，则；
（C）若收敛．则存在常数，使存在；
（D）若存在常数，使存在，则收敛．
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．
（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
【详解】把矩阵A，C列分块如下：
，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
6．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是
（A）（B），为任意常数
（C）（D），为任意常数
【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知，即，为任意常数，故选择（B）．
7．设是随机变量，且，，则
【详解】若，则
，，
，
．
故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
X
1
2
3P
P
1/2
1/4
1/8
Y
-1
1/3
则（）
【详解】，故选择（C）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
9．设曲线和在点处有切线，则．
【详解】由条件可知．所以
10．设函数是由方程确定，则．
【详解】
设，则，
当时，，所以．
11．．
12．微分方程的通解为．
【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数．
13．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则=．
【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知
，所以可能为或0．
但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以
14．设随机变量X服从标准正分布，则．
所以为．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当时，与是等价无穷小，求常数．
【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．
【详解】当时，，，，
所以，
由于与是等价无穷小，所以．
16．（本题满分10分）
设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．
【详解】由微元法可知
；
由条件，知．
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线所围成，求．
18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为（P是单价，单位：
元，Q是销量，单位：
件），已知产销平衡，求：
（1）该的边际利润．
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．
（3）使得利润最大的定价P．
（1）设利润为，则，
边际利润为
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．
经济意义为：
当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．
（3）令，得
19．（本题满分10分）
设函数在上可导，，且，证明
（1）存在，使得
（2）对
（1）中的，存在，使得．
证明
（1）由于，所以存在，当时，有，
又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得
（2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，
存在，使得．
20．（本题满分11分）
设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．
显然由可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设，
则变形为，
即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下
所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得．
此时，，
所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为
，其中为任意常数．
21．（本题满分11分）
设二次型．记．
（1）证明二次型对应的矩阵为；
（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．
【详解】证明：
（1）
所以二次型对应的矩阵为．
证明
（2）设，由于
则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；
，所以为矩阵对应特征值的特征向量；
而矩阵A的秩，所以也是矩阵的一个特征值．
故在正交变换下的标准形为．
22．（本题满分11分）
设是二维随机变量，X的边缘概率密度为，在给定的条件下，Y的条件概率密度为．
（1）求的联合概率密度；
（2）Y的的边缘概率密度．
（1）的联合概率密度：
（2）Y的的边缘概率密度：
23．（本题满分11分）
设总体X的概率密度为，其中为为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本．
（1）求的矩估计量；
（2）求的极大似然估计量．
（1）先求出总体的数学期望E（X）
令，得的矩估计量．
（2）当时，似然函数为
取对数，，
令，得，
解得的极大似然估计量为．
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