陕西省咸阳百灵中学学年高二数学下学期第二次月考试题文Word文档格式.docx
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b>
c,
则下列不等式成立的是（
>
一
a—cb-c
11
——<
7.过点
.ac>
bcD.ac<
bc
A4,牛与极点的直线的极坐标方程为（）
pcos0=2B.
pcos
0=—2■3C.psin0=23D.
2n
3
&
过极点的圆的方程为
=sin
0，则它的圆心的极坐标为（）
A.（1,0）B
1
2,
0C.
7t
2，2
9.
）.
函数y=+x（x>
3）的最小值是
X—3
10.若x>
0,则4x*'
的最小值是（
A.9
C.13
D.
不存在
2222
11.
设a,b,c,d为正数，a+b+c+d=1，贝Ua+b+c+d的最小值为（）
12.对任意x,y€R,|x—1|+|x|+|y—1|+|y+1|的最小值为（）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
我们称为正数a与b的算术平均值，为正数a与b的几何平均值.
14.
xOy取相同的长度单位建立极坐标
以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴且与直角坐标系
系.若圆C的极坐标方程为2^5sin，则其直角坐标方程为.
15.有以下四个条件：
①b>
0>
a；
②0>
a>
b；
③a>
0>
④a>
b>
0.
11
其中能使-v■-成立的有个条件.
ab
1111
16..用数学归纳法证明“S=不+卫+齐3+…+时>
1（n€N+）”时，S1等于
三、解答题
x1cos
17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为｛（为参数）.若以射线
ysin
Ox为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程。
18.
解下列不等式:
19..若正数x,y满足x+4y=4,求xy的最大值
20.若a,b,c均为正数,
求证：
a+b+c>
ab+bc+ca.
2
21..某单位建造一间地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5mi房屋正面的造价为400元/mi,房屋侧面的造价为150元/mi,屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时：
总造价最低？
1,n是正整数）
22.用数学归纳法证明：
（1）n1n（其中
、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
2.（1+i）（2+i）=（
D.3+3i
A.1--i
B.1+3i
C.3+i
2.给定下列命题:
A.0B
答案A
当a>
0,b<
0时，④错误.
答案B
解析（1+x）（1+y）<
1+x
x）（1+y）的最大值为25，故选B.
4.已知a,b€（0,1），记M=ab,N=a+b-1，则M与N的大小关系是（）
A.MkNB.M=NC.M>
答案
C
解析
M-N=ab-a-b+1=（1—a）（1—b）>
0,「•M>
N.
x+yxy
5.若x>
0,M=石N=苗+帀，则MN的大小关系是（
）
A.M=NB.MkNC.MeND.M>
解析•/x>
0,「.x+y+1>
1+x>
0,1+x+y>
1+y>
7.过点A4,牛与极点的直线的极坐标方程为（）
9.函数y=匚^+x（x>
x—3
B.3（V1
2x+2x+^
1—
3.—I2—■36
「\'
36,当且仅当2x=h'
即x=2
解析：
因为x>
0,所以4x+'
=2x时等号成立.
11.设a,b,c,d为正数,
a+b+c+d=1,
c2+d2的最小值为
C.1D.
解析由柯西不等式（a+b2+c2+d2）（12+12+
2__
》（a+b+c+d），因为a+b+c+d=1,于是由上式得
“2—22$2,22J
4（a+b+c+d）》1,于疋a+b+c+d》4,
当且仅当a=b=c=d=丁时取等号.
4
12.对任意x,y€R,lx—1|+|x|+|y—1|+|y+1|的最小值为（）
|x—1|+|x|+|y—1|+|y+1|>
|x—1—x|+1y—1—（y+1）|=1+2=3.答案：
C二、填空题
13.对任意两个正数a,b,有^Jab（此式当且仅当a=b时取"
=”号）.
以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴且与直角坐标系xOy取相同的长度单位建立极坐标
15.
16.
有以下四个条件:
11ab.
"
丄L-1111
①tb>
0,.••厂>
0.Ta<
0,.—<
0..•<
7baah
②•••b<
a<
o」b>
a.
-1111
③•••a>
b」a>
o二a>
b
综上知，①②④均能使
1成立.答案:
ab
16..用数学归纳法证明
“S=—+—+3
n+1n+2n+3
+…+3n+1
1>
1（n€N+）”时，S等于
111
解析n=1时，n+1=2,3n+1=4,.S=2+3+
234
【解析】由｛-3为参妳得曲线C普通方程为b-厅+於"
y—騒沁
又由厂,可得曲线C的根坐标方程为卩二加沾夕，故选D.
y=fisififf
18.解下列不等式：
（1）|5x—2|>
8;
（2）|x+1|+|x|<
6解
（1）|5x—2|>
8?
5x—2>
8或5x—2<
—8?
x>
2或x<
—z,
5
6•••原不等式的解集为xx>
2或xw—5.
（2）［解］法一：
利用分类讨论的思想方法.
3当xw—1时，一x—1—x<
2，解得一2<
x<
—1;
当—1<
0时，x+1—x<
2,解得—1<
0;
1当x>
0时，x+1+x<
2，解得0Wx<
》
31
因此，原不等式的解集为x|—2<
2.
法二：
利用方程和函数的思想方法.
2x—1x>
0,
令f（x）=|x+1|+|x|—2=—1—1Wx<
—2x—3x<
—1.
作函数f（x）的图像（如图）,
3131
知当f（x）<
o时，一2<
2*故原不等式的解集为x|—2<
法三：
利用数形结合的思想方法.
由绝对值的几何意义知，Ix+1|表示数轴上点F（x）到点A—1）的距离，Ix|表示数轴上点P（x）到点0（0）的距离.
由条件知，这两个距离之和小于2.
作数轴（如图），知原不等式的解集为x—3<
x<
1.
法四：
利用等价转化的思想方法.
原不等式？
0W|x+1|<
2—|x|,•••（x+1）2<
（2—|x|）2,且|x|<
2,
22
即OW4|x|<
3—2x，且|x|<
2.•16x<
（3—2x），且一2<
3i31
解得—2<
2.故原不等式的解集为x—<
19..若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.
由平均值不等式可得x+4y」=4「，，当且仅当x=4y=2时等号成立，所以
4.-<
4,所以Ovxyw1,故xy的最大值为1.
20.若a,b,c均为正数，
ab+,bc+,ca.
证明：
ta,b,c为正实数，
•a+b>
2ab,b+cbc,c+a》2ca.
由上面三式相加可得
（a+b）+（b+c）+（c+a）.,：
■ab+2\.：
bc+2\;
ca，即a+b+c》岑ab+bc+ca.
x=t+1,
.21-在平面直角坐标系XOy中，直线1的参数方程为y=2t（t为参数），曲线C的参
（0为参数）.试求直线I和曲线C的普通方程，并求出它们的公共
x=2tan0,
数方程为
y=2tan0
点的坐标.
x=t+1,
解：
因为直线I的参数方程为（t为参数）,
y=2t
由x=t+1，得t=x-1,代入y=2t，得到直线I的普通方程为2x—y—2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
y=2x—1,1
联立方程组2解得公共点的坐标为（2,2）,，—1.
y=2x,2
21..某单位建造一间地面面积为12m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面
的长度x不得超过5mi房屋正面的造价为400元/m｛房屋侧面的造价为150元/^,屋顶和地面
的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时，
总造价最低？
（2xx150+—x4001l（x+—
解由题意可得，总造价y=3IX丿+5800=9001兀丿+5
800（0<
xw5）,
16\I16
IxH1兀
于是由平均值不等式，得y=900l工/+5800>
900X刃X+5800=13000（元）,
当且仅当x=,即x=4时，等号成立.故当侧面的长度为4m时，总造价最低.
（1）n1n（其中1,n是正整
数）.
④
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