高中数学必修4两角和与差的正弦余弦和正切公式Word文档下载推荐.docx
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于是
例2、在△ABC中,cosA=
tanB=2,求tan（2A+2B）的值.
在△ABC中,由cosA=
0<
A<
π,得:
sinA=
所以tanA=
=
×
tan2A=
又tanB=2,
所以tan2B=
于是tan（2A+2B）=
例3、求cos36°
cos72°
.的值．
原式=
.
例4.已知cosα=
cos（α-β）=
且0<
β<
α<
（1）求tan2α的值;
（2）求β.
解:
（1）由cosα=
得sinα=
∴tanα=
=4
.于是tan2α=
（2）由0<
得0<
α-β<
又∵cos（α-β）=
∴sin（α-β）=
由β=α-（α-β）,得
cosβ=cos［α-（α-β）］=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=
+
∴β=
例5化简
或解：
例6已知
，求函数
的值域
∵
∴
∴函数y的值域是
例7已知
，
求
的值
∵
即：
从而
而
∴
例8已知
求证tan=3tan（+）
证：
由题设：
即
∴tan=3tan（+）
例9已知
，
，求sin2的值
解：
又
∴sin2=
=
例10求证：
tan20°
tan30°
＋tan30°
tan40°
＋tan40°
＝1
选题意图：
考查两角和与差的正切变形公式的应用
证明：
左端＝
说明：
可在△ABC中证明
课时对点练
一、选择题
1．函数y＝2cos
－1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为
的奇函数
D．最小正周期为
的偶函数
2．tan70°
＋tan50°
－
tan70°
·
tan50°
＝（ ）
A.
B.
C．－
D．－
3．若3sinx－
cosx＝2
sin（x－φ），φ∈（－π，π），则φ＝（ ）
A．－
B.
C.
D．－
4．（2010·
烟台调研）已知sin
＝
，则sin2x的值为（ ）
B.
C.
D.
5．已知cos
，则sin
－cos
的值是（ ）
B．－
C.
D.
二、填空题
6．函数y＝2cos
x＋sin2x的最小值是________．
7．（2010·
汕头二模）若0＜α＜
＜β＜π，且cosβ＝－
sin（α＋β）＝
，则cosα＝________.
8．已知α、β为锐角，且cosα＝
，cos（α＋β）＝－
，则β的值为________．
三、解答题（本题共2小题，每小题10分，共20分）
9．已知tan
（1）求tanα的值；
（2）求
10．（2010·
湖南卷）已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合．
11．如图在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐
角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已
知A、B两点的横坐标分别为
、
（1）求tan（α＋β）的值；
（2）求α＋2β的大小．
12．（2010·
珠海质量检测）已知函数
（1）求f
的值；
（2）当x∈
时，求g（x）＝f（x）＋sin2x的最大值和最小值．
答案
1解析：
y＝2cos
－1＝cos
＝sin2x∴周期为π的奇函数．答案：
A
2解析：
＝tan120°
（1－tan70°
）－
＝－
.答案：
D
3解析：
2
sin（x－φ）＝2
（sinxcosφ－cosxsinφ）＝3sinx－
cosx，∴cosφ＝
，sinφ＝
.又φ∈（－π，π），
∴φ＝
.答案：
B
4解析：
sin2x＝cos
＝cos2
＝1－2sin
＝1－2×
5解析：
sin
＝1－cos2
＋cos
6解析：
y＝（2cos
x－1）＋sin2x＋1＝cos2x＋sin2x＋1＝
＋1∴y的最小值为1－
1－
7解析：
∵0＜α＜
＜β＜π，∴
＜α＋β＜
，∴sinβ＝
cos（α＋β）＝－
，∴cosα＝cos[（α＋β）－β]
＝cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
＋
＝
8解析：
cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝
.∴β＝
9解：
（1）由tan
.解得tanα＝－
.
（2）
＝tanα－
＝－
10解：
（1）因为f（x）＝sin2x－（1－cos2x）＝
－1.
所以函数f（x）的最小正周期为T＝
＝π.
（2）由
（1）知，当2x＋
＝2kπ＋
，即x＝kπ＋
（k∈Z）时，f（x）取最大值
－1.因此函数f（x）取最大值时x的集合为
11、解：
（1）由已知条件及三角函数的定义可知，cosα＝
，cosβ＝
因为α为锐角，故sinα>
0，
从而sinα＝
，同理可得sinβ＝
因此tanα＝7，tanβ＝
.
所以tan（α＋β）＝
＝－3.
（2）tan（α＋2β）＝tan[（α＋β）＋β]＝
＝－1.
又0<
，0<
，故0<
α＋2β<
，从而由tan（α＋2β）＝－1得α＋2β＝
12解：
f（x）＝
＝2cos
x＋1－2＝2cos
x－1＝cos2x.
（1）f
＝cos
（2）g（x）＝cos2x＋sin2x＝
由0≤x＜
，故
≤2x＋
＜
，
≤sin
≤1,1≤
≤
即g（x）的最小值是1，最大值是
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